初一上冊數學一二章總結

授課內容：有理數加減乘除混合運算的練習授課知識：數的分類

正整數正有理數整數零正分數負整數有理數有理數零

負整數分數正分數負有理數負分數負分數有理數的大小比較方法

1.數軸比較法

將兩個實數分別在數軸上，右邊的數總比左邊的數大，兩數在同一點則相等2.差值比較法

設a,b是任意兩實數。則a-b>0+=>a>b;a-b異號得負，并把絕對值相除”．如果有了分數，則采用“除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數”，再約分．乘除混合運算時一定注意兩個原則：①變除為乘，②從左到右．2）

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七年級上冊（人民教育出版社）第一二章

數學要點難點歸納

第一章有理數

1.1正數和負數

一、定義

１．大于0的數叫做正數。

２．在正數前面加上負號“－”的數叫做負數。說明：

⑴０既不是正數，也不是負數，０是正數和負數的分界，０的意義已不僅是表示“沒有”。⑵一個數前面的“＋”與“－”叫做它的符號。

⑶判斷一個數是不是負數，要看是不是在正數的前面加上“－”號，而不能看它是否帶有“－”

號。

⑷有時根據需要，在正數前面也加上“＋”（正號），在一般情況下，正數前面的“＋”號省略不

寫，本書絕大多數的地方，正數都不帶正號。

⑸用正負數描述指定方向變化的情況：

①向指定方向變化用正數表示；

②向指定方向的相反方向變化用負數表示。

二、相反意義的量

相反意義的量的要素：⑴表示的意義相反；⑵都具有數量。

1.2有理數

一、有理數

１．定義

整數和分數統(tǒng)稱有理數。說明：

⑴正整數、0、負整數統(tǒng)稱為整數。⑵有理數可以寫成形如

mn（m,n是整數，n≠０）的形式；

mn（m,n是整數，n≠０）的數是有理數；

故有理數可以用（分析如下：

mn（m,n是整數，n≠０）表示。

m（m是正整數或０，n是正整數）的形式；nm②負整數、負分數可以寫成－（m，n是正整數）的形式；

nm③學習負數的除法后，可以知道有理數可以寫成（m，n是整數，n≠０）的形式；

n①正整數、0、正分數可以寫成⑶到目前為止，學過的數（除π外）都是有理數。２．分類

整數：正整數、０、負整數

按整數、分數（定義）分類

分數：正分數、負分數

有理數

正有理數：正整數、正分數

按正、負性（符號）分類0

負有理數：負整數、負分數

二、數軸

1．定義

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸。說明：

⑴數軸有三要素：原點、正方向和單位長度，三者缺一不可；

⑵數軸是直線，可以向兩端無限延伸；

⑶定義中“規(guī)定”是說原點的選取、正方向規(guī)定、單位長度大小的確定，都是根據需要規(guī)定的。2．畫法

⑴畫：畫一條直線；說明：

為了讀畫方便，通常把直線畫成水平或豎直，一般畫成水平；⑵標:在直線上適當選取一點為原點，并標上數字０；說明：

原點是“任取”一點，通常取適中的位置，如所需的數都是正數，也可以偏向左邊；⑶定:確定正方向；說明：

通常規(guī)定直線上原點向右（或上）為正方向，用箭頭表示出來（箭頭標在畫線部分的最右端），

不要畫成射線或線段。（當然數軸的方向是可以任取的）

⑷統(tǒng)一:統(tǒng)一單位長度根據需要，選取適當的長度為單位長度，并標上刻度，最后標上數字。說明：

單位長度的大小要根據實際需要選取，因此加“適當”二字，要表示絕對值大的數，單位長度

可以取小些。

（畫法不一定按上面順序，如⑵⑶可以調換）

3．數軸上的點與有理數之間的關系

⑴任意一個有理數，都可以用數軸上的一個點表示，但反過來，數軸上任意一點，卻并不一定表示一個有理數，因為數軸上除了表示有理數的點外，還有表示無理數的點。

⑵是數形的初步結合。

４．此時引入數軸，后續(xù)應用數軸理解數學知識，更加直觀，正所謂數學家華羅庚所言：“數形結合百般好，割裂分家萬事休”。三、相反數

1．定義：

只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。

說明：

⑴“只有”二字理解：兩個數只有符號不同，其它相同。⑵特別地，0的相反數是0。2．幾何意義：在數軸上位于原點兩側并且到原點距離相等的兩個點所表示的兩個數互為相反數。說明:

數軸上表示相反數的兩個點關于原點對稱。

3．表示與求法

⑴一般地，a的相反數可表示為-a，特別的０的相反數仍是０。

說明：０是唯一一個相反數等于本身的數，即，如果a=－a,那么a一定是0。

⑵求一個數的相反數，只要在它前面添上“－”號即可求。

四、絕對值1．定義：

一般地，數軸上表示a的點與原點的距離叫做數a的絕對值。記做a，讀做a的絕對值。2．重要性質

非負性，即a≥０。3．求法

一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數：0的絕對值是0。即a（a＞０）

a=0（a＝０）－a（a＜０）

說明：

⑴0是絕對值最小的有理數；

⑵互為相反數的兩個數的絕對值相等，反之，絕對值相等的兩個數，可能相等，也可能互為相反

數。

五、有理數大小的比較

1．利用數軸比較大小（直觀但麻煩）

在數軸上表示有理數，它們從左到右的順序，就是從小到大的順序，即左邊的數小于右邊的數。2．利用法則比較大�。ū容^方便）

⑴正數大于0，0大于負數，正數大于負數。⑵兩個負數，絕對值大的反而小。

即：異號兩數比較大小，要考慮它們的正負；同號兩數比較大小，要考慮它們的絕對值。說明：

⑴法則是根據數軸比較得出，有了法則就可以不必通過數軸，直接用絕對值比較；

⑵法則要結合圖形理解，不要死記硬背。例如：兩個負數在數軸上，絕對值大的在左邊，這就容

易記住絕對值大的負數反而小的結論。

1.3有理數的加減法

一、有理數加法

1．加法法則

⑴同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；

⑵絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值�；�為相反數的兩個數相加得0；

⑶一個數同0相加，仍得這個數。

說明：

如果兩個數的和為０，那么這兩個數互為相反數．2．加法運算律⑴加法交換律：有理數的加法中，兩個數相加，交換加數的位置，和不變。即a+b=b+a

⑵加法結合律：有理數的加法中，三個數相加，先把前面兩個數相加，或者先把后面兩個數相加，和不變。即(a+b)+c=a+(b+c)

說明:

⑴根據加法交換律和加法結合律可以得出:多個有理數相加,可以任意交換加數的位置,也可以先把其中的幾個加數相加。（上述簡化計算技巧源于此）

⑵加法交換律和加法結合律對兩個以上或三個以上的有理數仍然適用。3．簡化計算技巧：

⑴把符號相同的加數先相加。

⑵把分母相同的加數先相加。⑶相加得0的加數先相加。⑷相加得整數的加數先相加。

三、有理數減法

１．法則

減去一個數，等于加上這個數的相反數。即a－b=b+（－a）２．運算步驟：

⑴將減法變加法（要“兩變”，即一是減號變加號，二是把減數變?yōu)樗�的相反數）。⑵按有理數的加法法則和加法運算律計算。四、有理數加減混合運算

１．步驟和方法

⑴運用減法法則，將加減混合運算中的減法轉化為加法，然后省略加號和括號；⑵運用加法法則、運用加法交換律、加法結合律、有理數加法的計算技巧，使運算簡便。說明：

⑴將有理數的加減混合運算中減法轉化為加法后，為書寫簡單，可省略式中的加號和括號，看成是這些正數與負數之和；

⑵省略加號和括號的方法

①先統(tǒng)一成加號，再省略加號和括號；②利用符號化簡直接寫出。

1.4有理數的乘除法

一、有理數乘法

１．法則

⑴兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。⑵任何數同０相乘，都得０。

說明：

有理數乘法的運算步驟：⑴確定積的符號；⑵確定積的絕對值，計算結果。

２．倒數的定義

乘積是１的兩個數互為倒數。說明：⑴當a≠0時，a與

1互為倒數。amn當m≠0，n≠０時，與互為倒數。

nm⑵０沒有倒數。

⑶－１的倒數等于－１，０～－１之間的數的倒數比本身小，小于－１的數的倒數比本身大．３．乘法運算律

⑴乘法交換律：兩個數相乘，交換因素的位置，積相等。即ab=ba

⑵乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等。即（ab）c=a(bc)⑶分配律：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加。

即a(b+c)=ab+ac

二、有理數除法

１．法則

除以一個不等于０的數，等于乘這個數的倒數。即a÷b=a由上可以得出：

⑴兩個數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。⑵０除以任何一個不等于０的數，都得０三、有理數乘除混合運算

１．運用除法法則把除法化成乘法；２．確定積的符號，求出結果。四、有理數加減、乘除混合運算

１．無括號的，先乘除，后加減

２．有括號的，先算括號里面的，按小括號、中括號、大括號依此進行。

1b(b≠0)

1.5有理數的乘方

一、有理數乘方的意義

１．求幾個相同因素的積的運算，叫做乘方。

一般地aaa記作a，讀作a的次n方。當a看作a的次n方的結果時，也可以讀作an個a的n次冪。

２．乘方的結果叫作冪，在a中，a叫做底數，n叫做指數。二、有理數乘方運算

１．a是n個a相乘，所以可利用有理數的乘法運算進行有理數的乘方運算。２．有理數乘方運算的性質

根據有理數的乘法法則得出：

⑴負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；⑵正數的任何次冪都是正數：⑶０的任何次冪都是０。

三、有理數的混合運算

１．順序：⑴先乘方，再乘除，最后加減。

⑵同級運算，從左到右進行。

⑶如有括號，先做括號內運算，按小括號、中括號、大括號依次進行。

２．靈活使用運算律，是運算準確而快捷。四、科學計數法

把一個大于10的數寫成a×10的形式（其中a是整數數位只有一位的數，n是正整數）。

nnnnn即科學計數法形式為a×10，其中1≤a＜10，n為正整數，且n為這個數的整數位樹減１。五、近似數

１．近似數，就是與實際接近的數。

２．精確度，就是近似數與準確數的接近程度。六、有效數字

從左邊第一個非０的數字起，到精確到的數位止，所有的數字都叫做這個數的有效數字。

n第二章整式的加減

2.1整式

一、單項式

1．單項式的定義

2．單項式的系數

單項式中的數字因數叫做這個單項式的系數。說明：

⑴單項式的系數包括它前面的符號；

⑵當一個單項式只含有字母因數時，系數為1或-1；⑶系數為帶分數時，通常寫成假分數；

⑷圓周率π是常數，單項式中出現(xiàn)π時，應將其看作系數。3．單項式的次數

一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。說明：

⑴確定一個單項式的次數時，不把系數的指數當做字母的指數；⑵確定一個單項式的次數時，不要漏掉指數為1的字母；⑶單獨一個數字的指數是0。

4．用字母表示數后，同一個式子可以表示不同的含義。二、多項式

1．多項式的定義

幾個單項式的和叫做多項式。2．多項式的項

多項式中，每個單項式叫做多項式的項。其中不含字母的項叫做常數項。一個多項式含有幾項，就叫幾項式。說明：

⑴多項式的項包括它前面的正負號；

⑵判斷一個式子是不是多項式，關鍵是看式子能不能寫成單項式的和的形式。3．多項式的次數

多項式里次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數。說明：

⑴多項式的次數取決于多項式中次數最高項的次數；⑵多項式的次數最高項不一定只有一項，有可能有多項。

三、整式1．整式的定義

單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。

2.2整式的加減

一、同類項

1．同類項的定義

所含字母相同,并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項。說明:

⑴判斷同類項的標準:A．所含字母相同；Ｂ．同一字母的指數也相同。這其中的二個“相同”缺

一不可。

⑵同類項與系數無關，與字母的排列順序無關。（系數不為０的前提下）⑶同類項不一定是２項，也可以是３項，４項目項，，但至少是２項。2．合并同類項

把多項式中的同類項合并成一項,叫做合并同類項。說明:

⑴合并同類項的步驟：Ａ．找同類項；Ｂ．和并同類項；Ｃ．寫出結果。⑵合并同類項，同類項移動位置時，不要漏掉它的性質符號；⑶如果兩個同類項的系數互為相反數，合并同類項的結果是０。3．合并同類項的法則

合并同類項后,所得項的系數是合并前各同類項的系數的和,且字母部分不變.說明：

⑴合并同類項時是運用了加法交換律、加法結合律、乘法分配律把多項式中的同類項合并時總結出該法則的；主要是依據乘法分配律。

⑵通常把一個多項式各項按某個字母的指數降冪或升冪順序排列。二．去括號法則

１．如果括號外的因數是正數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相同；２．如果括號外的因數是負數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相反。說明：

⑴去括號法則依據是乘法分配律；⑵去括號法則簡說為“加不變，減全變”；⑶去括號時，要連同括號前面的符號一同去掉；⑷該變號時，各項都變號；不該變號時，各項都不變號；

⑸括號前面有數字因數時，應利用乘法分配律，先將該數與括號內各項分別相乘再去括號，避免

出現(xiàn)漏乘的情況。三．整式的加減

１．運算法則

一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項目。說明：

⑴整式的加減實質上是去括號和合并同類項；

⑵整式加減的最后結果:

①不能含有同類項，即要合并到不能合并為止；

②合并同類項后，若其系數是帶分數，要把它化成假分數。

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