導數(shù)應用小結

201*------201*學年高二數(shù)學選修2---2導學案使用時間201*.3.編號：編制人：陳迪吳太強審核人：審批人：班級：小組：姓名：組內評價：教師評價：

導數(shù)應用小結（高二理科）

使用說明：在做本章的小結之前，請仔細閱讀一下教材p70的學習要求和復習建議.重點難點：1.重點：應用導數(shù)解決函數(shù)的單調性、極值、最值問題，同時利用導數(shù)概念形成

過程中的思想分析問題并建立導數(shù)模型。

學2.難點：深刻理解導數(shù)是能夠比單調性更加精確地反映函數(shù)變化趨勢的一個量。一．學習目標：1.會用導數(shù)解決函數(shù)的單調性問題、極值問題和實際中簡單的最優(yōu)化問題。

2.通過利用導數(shù)研究單調性問題和極值問題的過程，體會從特殊到一般的、

數(shù)形結合的研究方法。3．通過不同背景的問題解決最后統(tǒng)一到導數(shù)模型的過程，認識到數(shù)學與生活

案的關系和數(shù)學在實用性方面的巨大力量，進而對數(shù)學中蘊涵的理性美產生

發(fā)自內心的欣賞感情。

二．問題導學:

1.本章知識結構函數(shù)的單調性（用導數(shù)的符號判斷單調性）裝函數(shù)的單調性與極值函數(shù)的極值（利用導數(shù)確定函數(shù)的極值點和極值）導數(shù)應用實際問題中的導數(shù)的意義訂導數(shù)在實際問題中的應用最大、最小值問題（最優(yōu)化問題）2.知識點總結

（1）導數(shù)與函數(shù)單調性

線導函數(shù)的符號與函數(shù)的單調性之間具有如下的關系：

．如果在某個區(qū)間內，函數(shù)yfx的導數(shù)________，則在這個區(qū)間上，函數(shù)yfx是________，該區(qū)間是函數(shù)的_______。

．如果在某個區(qū)間內，函數(shù)yfx的導數(shù)________，則在這個區(qū)間上，函數(shù)yfx是________，該區(qū)間是函數(shù)的_______。

.如果在某個區(qū)間內，函數(shù)yfx恒有導數(shù)________，則fx為_______。

注：①f(x)＞0（或f(x)＜0)是fx在某一區(qū)間上是增加的（或減少的）的充分不必要條件.,②在利用導數(shù)討論函數(shù)的單調區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，在解決問題的過程中，只能在定義域內，通過討論導數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調區(qū)間.⑵函數(shù)的極值與導數(shù)

一般情況下，求函數(shù)yfx的極值點的步驟如下：求出導數(shù)________；解方程________；

對于方程f(x)=0的每一個解x0，分析f(x)在x0左、右兩側的_______（即fx的單調性），確定極值點：若f(x)在x0兩側的符號“左正右負”，則x0為______；若f(x)在x0兩側的符號“左負右正”，則x0為______；若f(x)在x0兩側的符號相同，則x0_______極值點

注：極值反映的是函數(shù)在某一點附近的大小情況，函數(shù)應在極值點附近有定義，端點絕對不

是極值點

⑶函數(shù)最值的實際應用（優(yōu)化問題的解決）

①求連續(xù)函數(shù)fx在a,b上上最值的步驟：

求fx在（a,b）上的極值；

將fx的各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.②最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系：

最值是整體性概念，極值是局部的概念

最大（�。┲挡灰欢ㄊ菢O大（�。┲担瑯O大（�。┲狄膊灰欢ㄊ亲畲螅ㄐ。┲�.函數(shù)在某一區(qū)間上的極值可能有多個，但在某一區(qū)間上存在最大（�。┲禃r，最大（小）值只能有一個極值有可能成為最值，最值存

在且不在端點處取得，則必是極值

建立數(shù)③解決優(yōu)化問題的方法：學模型解決優(yōu)化問題的基本思路是優(yōu)化問題用函數(shù)表示數(shù)學問題解決數(shù)學模型作答

優(yōu)化問題答案用導數(shù)解決數(shù)學問題201*------201*學年高二數(shù)學選修2---2導學案使用時間201*.3.編號：編制人：陳迪吳太強審核人：審批人：班級：小組：姓名：組內評價：教師評價：

注：用導數(shù)的方法解決實際問題，可歸納為：費用最省問題；面積、體積最大問題；利潤最大問題等

三、合作、探究、展示

1．求下列函數(shù)的單調區(qū)間和極值⑴yxx⑵yxsinx⑶ysinxcosx

1.設函數(shù)f(x)ln(2x3)x2

（Ⅰ）討論f(x)的單調性；

（Ⅱ）求f(x)在區(qū)間31，的最大值和最小值．

44解：f(x)的定義域為3，∞2．

2（Ⅰ）f(x)22x32x4x6x2x1)(x1)2x32(22x3．

當32x1時，f(x)0；當1x1時，f(x)0；當x122時，f(x)0．從而，f(x)分別在區(qū)間1312，1，2，∞單調增加，在區(qū)間1，單調減少．2（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)在區(qū)間3111，44的最小值為f2ln2．

4又f339714f13114ln49216ln216ln7221ln60．

所以f(x)在區(qū)間31117，44的最大值為f4ln．

162

2.已知函數(shù)f(x)ax3bx23x在x1處取的極值

（1）求fx的極值（2）當x2,2時，求fx的最大值和最小值

2..已知函數(shù)f(x)ax4lnxbx4c(x>0)在x=1處取得極值3c，其中a,b,c為常數(shù)。

（1）試確定a,b的值；

（2）討論函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；

（3）若對任意x>0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范圍。解：（I）由題意知f(1)3c，因此bc3c，從而b3．又對f(x)求導得

f"x4ax3lnxax4133x4bxx(4alnxa4b)．

由題意f(1)0，因此a4b0，解得a12．

（II）由（I）知f(x)48x3lnx（x0），令f(x)0，解得x1．當0x1時，f(x)0，此時f(x)為減函數(shù)；

當x1時，f(x)0，此時f(x)為增函數(shù)．

因此f(x)的單調遞減區(qū)間為(0，1)，而f(x)的單調遞增區(qū)間為(1，∞)．

（III）由（II）知，f(x)在x1處取得極小值f(1)3c，此極小值也是最小值，要

使f(x)≥2c2（x0）恒成立，只需3c≥2c2．

即2c2c3≥0，從而(2c3)(c1)≥0，解得c≥32或c≤1．

所以c的取值范圍為(，1]32，．

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22.已知函數(shù)f(x)2axa1x21(xR)，其中aR．

（Ⅰ）當a1時，求曲線yf(x)在點(2，f(2))處的切線方程；（Ⅱ）當a0時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間與極值．（Ⅰ）解：當a1時，f(x)2xx21，f(2)45，

)2(x21)2x2x2又f(x22x，6(x21)2(x21)2f(2)25．

所以，曲線yf(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y46525(x2)，

即6x2y320．

2a(x21)2x(2axa2（Ⅱ）解：f(x)1)(x21)22(xa)(ax1)(x21)2．

由于a0，以下分兩種情況討論．（1）當a0時，令f(x)0，得到x11a，x2a．當x變化時，f(x)，f(x)的變

化情況如下表：

x1∞，11aa，aa(a，∞)af(x)00f(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以f(x)在區(qū)間1∞，a，(a，∞)內為減函數(shù)，在區(qū)間1，a內為增函數(shù)．a函數(shù)f(x)在x11121a處取得極小值fa，且faa，函數(shù)f(x)在x12a處取得極大值f(a)，且f(a)1．

（2）當a0時，令f(x)0，得到x11a，x2a，當x變化時，f(x)，f(x)的變化

情況如下表：

x∞，aaa，11aa1，+∞af(x)00f(x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以f(x)在區(qū)間(∞，a)，1內為增函數(shù)，在區(qū)間a，+∞1a，a內為減函數(shù)．函數(shù)f(x)在x1a處取得極大值f(a)，且f(a)1．函數(shù)f(x)在x121a處取得極小值f，且f1a．aa23．甲方是一農場，乙方是一工廠，由于乙方生產需占用甲方的資源，因此，甲方有權向乙方

索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定的凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x（元）與年產量t（噸）滿足函數(shù)關系x201*t，若乙方每生產一噸必須賠付甲方S元（以下稱

S為賠付價格）

（1）將乙方的年利潤W（元）表示為年產量t（噸）的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤的年

產量；

（2）甲方每年受乙方生產影響的經(jīng)濟損失金額y0.002t2（元），在乙方按照獲得最大利

潤的產量進行生產的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應向乙方要求的賠償價

格S是多少？（答案在中學第二教材p74）

201*------201*學年高二數(shù)學選修2---2導學案使用時間201*.3.編號：編制人：陳迪吳太強審核人：審批人：班級：小組：姓名：組內評價：教師評價：

四、拓展提高

1.（07江蘇）已知函數(shù)f(x)x312x28在3,3上的最大值和最小值分別為M,m，

M-m=_________.

2.已知函數(shù)f(x)ax3bx2cx在點x0處取得極大值5，其導函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點（1，0），（2，0）,如圖所示，求（1）x0的值（2）a,b,c的值

3.已知f(x)x33x29xm在2,2上的最大值為20，則實數(shù)m的值為_________※4.(08湖北)若f(x)122xblnx2在1,上是減函數(shù)，求b的取值范圍是（）

A.[1,)B.1,C.(,1]D.(,1)※※5.（08天津文21）設函數(shù)f(x)x4ax32x2b(xR)其中a,bR（1）當a=103時，討論函數(shù)fx的單調性；

（2）若函數(shù)fx僅在x=0處有極值，求a的取值范圍；

（3）若對于任意的a2,2.不等式fx1在1，1上恒成立，求b的取值范圍.

五．本節(jié)小結：

（1）導數(shù)在實際生活中的應用主要是解決有關函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下

幾個方面：

1、與幾何有關的最值問題；

2、與物理學有關的最值問題；

3、與利潤及其成本有關的最值問題；

4、效率最值問題。解決實際問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關系，建立適當?shù)暮瘮?shù)關系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當?shù)暮瘮?shù)關系。再通過研究相應函數(shù)的性質，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，

導數(shù)是一個有力的工具．（2）函數(shù)極值的判斷方法:

(1)定義法，若fx在x0點附近有定義，且滿足附近所有點x都有fxfx0，則說

fx0為極大值；反之，則說fx0為極小值，本方法主要用于判斷不可導函數(shù)的極值。

（2）導數(shù)法，當函數(shù)fx在x0處連續(xù)可導時，如果x0附近的左側fx0，右側fx0，

那么fx0是極大值；若左側fx0，右側fx0，那么fx0是極小值。注：導數(shù)不存在的點有可能是極值點；而導數(shù)為0的點也不一定是極值點。

（3）函數(shù)最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系：

①函數(shù)的極值是在局部范圍內討論問題，是一個局部概念，而函數(shù)的最值是對整個定義域而言，是在整體范圍內討論問題，是一個整體性的概念

②閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，開區(qū)間內的可導函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值。

③函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值則可能不止一個，也可能沒有極值。

④如果函數(shù)不在閉區(qū)間a,b上可導，則確定函數(shù)的最值時，不僅比較該函數(shù)各導數(shù)為零的點

與端點處的值，還要比較函數(shù)在定義域內各不可導的點處的值。

⑤在解決實際問題應用中，如果函數(shù)在區(qū)間內只有一個極值點，那么要根據(jù)實際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數(shù)值進行比較。

擴展閱讀：導數(shù)應用小結B

201*------201*學年高二數(shù)學選修2---2導學案使用時間201*.3.19編號：18編制人：陳迪吳太強審核人：審批人：班級：小組：姓名：組內評價：教師評價：

導數(shù)應用小結（高二理科B）

使用說明：在做本章的小結之前，請仔細閱讀一下教材p70的學習要求和復習建議.重點難點：1.重點：應用導數(shù)解決函數(shù)的單調性、極值、最值問題，同時利用導數(shù)概念形成

過程中的思想分析問題并建立導數(shù)模型。

學2.難點：深刻理解導數(shù)是能夠比單調性更加精確地反映函數(shù)變化趨勢的一個量。一．學習目標：1.會用導數(shù)解決函數(shù)的單調性問題、極值問題和實際中簡單的最優(yōu)化問題。

2.通過利用導數(shù)研究單調性問題和極值問題的過程，體會從特殊到一般的、

數(shù)形結合的研究方法。3．通過不同背景的問題解決最后統(tǒng)一到導數(shù)模型的過程，認識到數(shù)學與生活

案的關系和數(shù)學在實用性方面的巨大力量，進而對數(shù)學中蘊涵的理性美產生

發(fā)自內心的欣賞感情。

二．問題導學:

1.本章知識結構函數(shù)的單調性（用導數(shù)的符號判斷單調性）裝函數(shù)的單調性與極值函數(shù)的極值（利用導數(shù)確定函數(shù)的極值點和極值）導數(shù)應用實際問題中的導數(shù)的意義訂導數(shù)在實際問題中的應用最大、最小值問題（最優(yōu)化問題）2.知識點總結

（1）導數(shù)與函數(shù)單調性

線導函數(shù)的符號與函數(shù)的單調性之間具有如下的關系：

．如果在某個區(qū)間內，函數(shù)yfx的導數(shù)________，則在這個區(qū)間上，函數(shù)yfx是________，該區(qū)間是函數(shù)的_______。

．如果在某個區(qū)間內，函數(shù)yfx的導數(shù)________，則在這個區(qū)間上，函數(shù)yfx是________，該區(qū)間是函數(shù)的_______。

.如果在某個區(qū)間內，函數(shù)yfx恒有導數(shù)________，則fx為_______。

注：①f(x)＞0（或f(x)＜0)是fx在某一區(qū)間上是增加的（或減少的）的充分不必要條件.,②在利用導數(shù)討論函數(shù)的單調區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，在解決問題的過程中，只能在定義域內，通過討論導數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調區(qū)間.⑵函數(shù)的極值與導數(shù)

一般情況下，求函數(shù)yfx的極值點的步驟如下：求出導數(shù)________；解方程________；

對于方程f(x)=0的每一個解x0，分析f(x)在x0左、右兩側的_______（即fx的單調性），確定極值點：若f(x)在x0兩側的符號“左正右負”，則x0為______；若f(x)在x0兩側的符號“左負右正”，則x0為______；若f(x)在x0兩側的符號相同，則x0_______極值點

注：極值反映的是函數(shù)在某一點附近的大小情況，函數(shù)應在極值點附近有定義，端點絕對不

是極值點

⑶函數(shù)最值的實際應用（優(yōu)化問題的解決）

①求連續(xù)函數(shù)fx在a,b上上最值的步驟：

求fx在（a,b）上的極值；

將fx的各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.②最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系：

最值是整體性概念，極值是局部的概念

最大（小）值不一定是極大（�。┲担瑯O大（�。┲狄膊灰欢ㄊ亲畲螅ㄐ。┲�.函數(shù)在某一區(qū)間上的極值可能有多個，但在某一區(qū)間上存在最大（小）值時，最大（�。┲抵荒苡幸粋�極值有可能成為最值，最值存

在且不在端點處取得，則必是極值

建立數(shù)③解決優(yōu)化問題的方法：學模型解決優(yōu)化問題的基本思路是優(yōu)化問題用函數(shù)表示數(shù)學問題解決數(shù)學模型作答

優(yōu)化問題答案用導數(shù)解決數(shù)學問題201*------201*學年高二數(shù)學選修2---2導學案使用時間201*.3.19編號：18編制人：陳迪吳太強審核人：審批人：班級：小組：姓名：組內評價：教師評價：

注：用導數(shù)的方法解決實際問題，可歸納為：費用最省問題；面積、體積最大問題；利潤最大問題等

三、合作、探究、展示

1.設函數(shù)f(x)ln(2x3)x2（Ⅰ）討論f(x)的單調性；

31（Ⅱ）求f(x)在區(qū)間，的最大值和最小值．

443.已知函數(shù)f(x)2axa1x122(xR)，其中aR．

（Ⅰ）當a1時，求曲線yf(x)在點(2，f(2))處的切線方程；（Ⅱ）當a0時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間與極值．

2

2..已知函數(shù)f(x)ax4lnxbx4c(x>0)在x=1處取得極值3c，其中a,b,c為常數(shù)。（1）試確定a,b的值；

（2）討論函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；

（3）若對任意x>0，不等式f(x)2c恒成立，求c的取值范圍。

201*------201*學年高二數(shù)學選修2---2導學案使用時間201*.3.19編號：18編制人：陳迪吳太強審核人：審批人：班級：小組：姓名：組內評價：教師評價：

4．甲方是一農場，乙方是一工廠，由于乙方生產需占用甲方的資源，因此，甲方有權向乙方索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定的凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x（元）與年產量t（噸）滿足函數(shù)關系x201*t，若乙方每生產一噸必須賠付甲方S元（以下稱

四、拓展提高

1.（07江蘇）已知函數(shù)f(x)x312x28在3,3上的最大值和最小值分別為M,m，S為賠付價格）

（1）將乙方的年利潤W（元）表示為年產量t（噸）的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤的年

產量；

（2）甲方每年受乙方生產影響的經(jīng)濟損失金額y0.002t2（元），在乙方按照獲得最大利

潤的產量進行生產的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應向乙方要求的賠償價

格S是多少？

M-m=_________.

2.已知函數(shù)f(x)ax3bx2cx在點x0處取得極大值5，其導函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點（1，0），（2，0）,如圖所示，求（1）x0的值（2）a,b,c的值

3.已知f(x)x33x29xm在2,2上的最大值為20，則實數(shù)m的值為_________

※4.(08湖北)若f(x)122xblnx2在1,上是減函數(shù)，求b的取值范圍是（）

A.[1,)B.1,C.(,1]D.(,1)201*------201*學年高二數(shù)學選修2---2導學案使用時間201*.3.19編號：18編制人：陳迪吳太強審核人：審批人：班級：小組：姓名：組內評價：教師評價：

※※5.（08天津文21）設函數(shù)f(x)x4ax32x2b(xR)其中a,bR（1）當a=103時，討論函數(shù)fx的單調性；

（2）若函數(shù)fx僅在x=0處有極值，求a的取值范圍；

（3）若對于任意的a2,2.不等式fx1在1，1上恒成立，求b的取值范圍.

五．本節(jié)小結：

（1）導數(shù)在實際生活中的應用主要是解決有關函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下

幾個方面：

1、與幾何有關的最值問題；

2、與物理學有關的最值問題；

3、與利潤及其成本有關的最值問題；4、效率最值問題。

解決實際問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關系，建立適當?shù)暮瘮?shù)關系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當?shù)暮瘮?shù)關系。再通過研究相應函數(shù)的性質，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導數(shù)是一個有力的工具．（2）函數(shù)極值的判斷方法:

(1)定義法，若fx在x0點附近有定義，且滿足附近所有點x都有fxfx0，則說

fx0為極大值；反之，則說fx0為極小值，本方法主要用于判斷不可導函數(shù)的極值。

（2）導數(shù)法，當函數(shù)fx在x0處連續(xù)可導時，如果x0附近的左側fx0，右側fx0，

那么fx0是極大值；若左側fx0，右側fx0，那么fx0是極小值。注：導數(shù)不存在的點有可能是極值點；而導數(shù)為0的點也不一定是極值點。

（3）函數(shù)最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系：

①函數(shù)的極值是在局部范圍內討論問題，是一個局部概念，而函數(shù)的最值是對整個定義域而言，是在整體范圍內討論問題，是一個整體性的概念

②閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，開區(qū)間內的可導函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值。

③函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值則可能不止一個，也可能沒有極值。

④如果函數(shù)不在閉區(qū)間a,b上可導，則確定函數(shù)的最值時，不僅比較該函數(shù)各導數(shù)為零的點與端點處的值，還要比較函數(shù)在定義域內各不可導的點處的值。

⑤在解決實際問題應用中，如果函數(shù)在區(qū)間內只有一個極值點，那么要根據(jù)實際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數(shù)值進行比較。201*------201*學年高二數(shù)學選修2---2導學案使用時間201*.3.19編號：18編制人：陳迪吳太強審核人：審批人：班級：小組：姓名：組內評價：教師評價：

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