導(dǎo)數(shù)高考知識點總結(jié)(最全)

導(dǎo)數(shù)知識點歸納及應(yīng)用

●知識點歸納一、相關(guān)概念1．導(dǎo)數(shù)的概念

函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x0處有增量x，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量y=f（x0+x）－f（x0），比值化率，即

y叫做函數(shù)y=f（x）在x0到x0+x之間的平均變xyf(x0x)f(x0)y=。如果當x0時，有極限，我們就說函

xxx數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，并把這個極限叫做f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f’（x0）或y’|xx0。即f（x0）=lim說明：

（1）函數(shù)f（x）在點x0處可導(dǎo)，是指x0時，極限，就說函數(shù)在點x0處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)。

（2）x是自變量x在x0處的改變量，x0時，而y是函數(shù)值的改變量，可以是零。

由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟：①求函數(shù)的增量y=f（x0+x）－f（x0）；②求平均變化率

yf(x0x)f(x0)=；

xxf(x0x)f(x0)y=lim。

xxx0x0yy有極限。如果不存在xxy。

x0x例：設(shè)f(x)=x|x|,則f′(0)=.

f(0x)f(0)f(x)|x|x[解析]：∵limlimlimlim|x|0

x0x0x0x0xxx③取極限，得導(dǎo)數(shù)f’(x0)=lim∴f′(0)=0

2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f（x）在點p（x0，f（x0））處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點p（x0，f（x0））處的切線的

1/斜率是f’（x0）。相應(yīng)地，切線方程為y－y0=f（x0）（x－x0）。例：在函數(shù)yx38x的圖象上，其切線的傾斜角小于

/

點的個數(shù)是A．3B．2C．1

3.導(dǎo)數(shù)的物理意義

如果物體運動的規(guī)律是s=s（t），那么該物體在時刻t的瞬間速度v=s（t）。如果物體運動的速度隨時間的變化的規(guī)律是v=v（t），則該物體在時刻t的加速度a=v′（t）。

例。汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數(shù)，其圖像可能是（）

ssss的點中，坐標為整數(shù)的4()

D．0

OA．

tOB．

tOC．

tOD．

t

練習(xí)：已知質(zhì)點M按規(guī)律s2t23做直線運動（位移單位：cm，時間單位：s）。

s；ts（2）當t=2，t0.001時，求；

t（3）求質(zhì)點M在t=2時的瞬時速度。二、導(dǎo)數(shù)的運算

1．基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:

（1）當t=2，t0.01時，求

①C0;（C為常數(shù)）②xnnxn1;③(sinx)cosx;④(cosx)sinx;⑤(ex)ex;⑥(ax)axlna;

1⑦lnx;

x1⑧l(xiāng)ogaxlogae.

x2/例1：下列求導(dǎo)運算正確的是()

111A．(x+)12B．(log2x)′=

xxln2xxx2

C．(3)′=3log3eD．(xcosx)′=-2xsinx

例2：設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，則f201*(x)＝()

A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx[解析]：f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)=cosx，f2(x)＝f1′(x)=-sinx，

f3(x)＝f2′(x)=-cosx，f4(x)＝f3′(x)=sinx，循環(huán)了則f201*(x)＝f1(x)＝cosx

2．導(dǎo)數(shù)的運算法則

法則1：兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即：(uv)"u"v".

法則2：兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù),加上第一個

函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：(uv)"u"vuv".

若C為常數(shù),則(Cu)"C"uCu"0Cu"Cu".即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(Cu)"Cu".

法則3：兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與

u"vuv"u分子的積，再除以分母的平方：（v0）。2vv例：設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當x＜0時,f(x)g(x)f(x)g(x)＞0.且g(3)=0.則不等式f(x)g(x)＜0的解集是()

A．(-3,0)∪(3,+∞)B．(-3,0)∪(0,3)C．(-∞,-3)∪(3,+∞)D．(-∞,-3)∪(0,3)

3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

形如y=f(x)的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解>求導(dǎo)>回代。

法則：y＇|X=y＇|Uu＇|X或者f[(x)]f()*(x).練習(xí)：求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y3/6

xx5sinxx2;（2）y(x1)(x2)(x3);x（3）ysinx12cos2;（4）y2411x11x.

三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

（1）設(shè)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間（a，b）可導(dǎo)，如果f"(x)0，則f(x)在此區(qū)間上為增函數(shù)；如果f"(x)0，則f(x)在此區(qū)間上為減函數(shù)。（2）如果在某區(qū)間內(nèi)恒有f"(x)0，則f(x)為常數(shù)。例：函數(shù)f(x)x33x21是減函數(shù)的區(qū)間為

()

A．(2,)B．(,2)C．(,0)D．（0，2）

2．極點與極值：

曲線在極值點處切線的斜率為0，極值點處的導(dǎo)數(shù)為0；曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負；曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負，右側(cè)為正；例：函數(shù)f(x)x3ax23x9,已知f(x)在x3時取得極值，則a=()A．2B．33．最值：

C．4

D．5

在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值。但在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)函數(shù)f（x）不一定有最大值，例如f(x)x3,x(1,1)。（1）函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性的概念，最大值必須是整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大值，最小值必須在整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最小值。

（2）函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出來的，函數(shù)的極值是比較極值點附件的函數(shù)值得出來的。函數(shù)的極值可以有多有少，但最值只有一個，極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點處必定是極值。例：函數(shù)f(x)x33x1在閉區(qū)間[-3，0]上的最大值、最小值分別是.●經(jīng)典例題選講

例1.已知函數(shù)yxf(x)的圖象如圖所示（其中f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個圖象中yf(x)的圖象大致是()

4/

例2.設(shè)f(x)ax3x恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間。

例3.已知函數(shù)f(x)x3bx2axd的圖象過點P（0,2）,且在點M(1,f(1))處的切線方程為6xy70.（Ⅰ）求函數(shù)yf(x)的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間.

例4.設(shè)函數(shù)fxx3bx2cx(xR)，已知g(x)f(x)f(x)是奇函數(shù)。（Ⅰ）求b、c的值。（Ⅱ）求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。

2例5.已知f（x）=x3ax2bxc在x=1，x=時，都取得極值。

3（1）求a、b的值。

1（2）若對x[1,2]，都有f(x)恒成立，求c的取值范圍。

c例6.已知x1是函數(shù)f(x)mx33(m1)x2nx1的一個極值點，其中

m,nR,m0，

（I）求m與n的關(guān)系式；（II）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（III）當x1,1時，函數(shù)yf(x)的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍.

例7：已知函數(shù)f(x)(x2ax2a23a)ex(xR),其中aR

（1）當a0時，求曲線yf(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率；（2）當a5/6

2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。（3）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)研究

函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。滿分12分。

解：（I）當a0時，f(x)x2ex，f"(x)(x22x)ex，故f"(1)3e.

所以曲線yf(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為3e.

（II）f"(x)x2(a2)x2a24aex.

令f"(x)0，解得x2a，或xa2.由a2知，2aa2.3以下分兩種情況討論。

2（1）若a＞，則2a＜a2.當x變化時，f"(x)，f(x)的變化情況如下表：

3x，2a+2a0極大值2a，a2a20極小值a2，+所以f(x)在(，2a)，(a2，)內(nèi)是增函數(shù)，在(2a，a2)內(nèi)是減函數(shù).

函數(shù)f(x)在x2a處取得極大值f(2a)，且f(2a)3ae2a.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m函數(shù)f(x)在xa2處取得極小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.

（2）若a＜

2，則2a＞a2，當x變化時，f"(x)，f(x)的變化情況如下表：3x，a2+a20極大值a2，2a2a0極小值2a，+所以f(x)在(，a2)，(2a，)內(nèi)是增函數(shù)，在(a2，2a)內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù)f(x)在xa2處取得極大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.

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導(dǎo)數(shù)知識點

一．考綱要求

考試內(nèi)容8A導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)yc，yx，導(dǎo)數(shù)的運算導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用yx2要求層次BC√△√，y1x√的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運算導(dǎo)數(shù)公式表◇導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（其中多項式函數(shù)不超過三次）函數(shù)的極值、最值（其中多項式函數(shù)不超過三次）利用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題√√☆√☆√√二．知識點

1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)yf(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線yf(x)在點(x0,f(x))處的切線的斜率，也就是說，曲線yf(x)在點P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0)，切線方程為

yy0f(x)(xx0).

"2.、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

"n"n1""①C0；②(x)nx；③(sinx)cosx；④(cosx)sinx；

⑤(a)alna；⑥(e)e；⑦(log3.導(dǎo)數(shù)的運算法則

x"xx"xax)"1xlna"；⑧(lnx)1x

(v0).（1）(uv)uv.（2）(uv)uvuv.（3）()2vv4.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數(shù)f(x)的

""""""u"uvuv""極大值，極小值同理）當函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時，

①如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＞0，右側(cè)f"(x)＜0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＜0，右側(cè)f"(x)＞0，那么f(x0)是極小值.

也就是說x0是極值點的充分條件是x0點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不是f"(x)=0①.此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點也可能是函數(shù)的極值點②.當然，極值是一個局部概念，極值點的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值�。ê瘮�(shù)在某一點附近的點不同）.

注①：若點x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點，則f"(x)=0.但反過來不一定成立.對于可導(dǎo)函數(shù)，其一點x0是極值點的必要條件是若函數(shù)在該點可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.例如：函數(shù)yf(x)x3，x0使f(x)"=0，但x0不是極值點.

是函數(shù)的極小值點.

②例如：函數(shù)yf(x)|x|，在點x0處不可導(dǎo)，但點x0極值與最值區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進行比較.5.導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性

（1）一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間可導(dǎo)，如果f′(x)>0，則f(x)為增函數(shù)；如果f′(x)<0，則f(x)為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)=0，則f(x)為常數(shù)；（2）對于可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)來說，f′(x)>0是f(x)在某個區(qū)間上為增函數(shù)的充分非必要條件，f′(x)<0是f(x)在某個區(qū)間上為減函數(shù)的充分非必要條件；（3）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：

①求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；②令f′(x)>0解不等式，得x的范圍，就是遞增區(qū)間；③令f′(x)<0解不等式，得x的范圍，就是遞增區(qū)間。

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