高中數學必修4知識點總結歸納[1]

高中數學必修4知識點

14、函數ysinx的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數再將函數ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮ysinx的圖象；短）到原來的

1倍（縱坐標不變），得到函數ysinx的圖象；再將函數

ysinx的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不

變），得到函數ysinx的圖象．

函數ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的得到函數

ysinx的圖象；再將函數ysinx1倍（縱坐標不變），

的圖象上所有點向左（右）平移

個單

位長度，得到函數ysinx的圖象；再將函數ysinx的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數

ysinx的圖象．

函數ysinx0,0的性質：

①振幅：；②周期：．

2；③頻率：f12；④相位：x；⑤初相：

函數ysinx，當xx1時，取得最小值為ymin；當xx2時，取得最大值為ymax，則周期問題

yASinyACosyyyyASinACosASinACos12ymaxxymin，12ymaxymin，

2x2x1x1x2．

,A0,0,T,A0,0,T22

xx,A0,0,T2

xx,A0,0,Tb,A0,0,b0,Tb,A0,0,b0,TxyAtanx,A0,0,TyAcotx,A0,0,T

yAtanx,A0,0,TyAcotx,A0,0,T15、正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質：函

ycosx數ysinx性

質

ytanx

圖象

定義域值域

RR

xxk,k

2R1,1

當x2k21,1

k當x2kk時，

ymax1；當x2k

最值

時，ymax1；當

x2k

2

1．

k時，ymin1．

既無最大值也無最小

值

k時，ymin周期性奇偶性

22

奇函數偶函數奇函數

在2k2,2k2在2k,2kk單上是增函數；在在k,k

22調k上是增函數；在

2k,2k

性

k上是增函數．

3k上是減函數．2k,2k

k上是減函數．

對稱中

心對

稱中心對稱中心

對k,0k稱

對稱性

xk軸

k,0k2k,0k22k對稱軸xkk

無對稱軸

向量:

16、向量：既有大小，又有方向的量．數量：只有大小，沒有方向的量．

有向線段的三要素：起點、方向、長度．

零向量：長度為0的向量．

單位向量：長度等于1個單位的向量．平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長度相等且方向相同的向量．17、向量加法運算：

⑴三角形法則的特點：首尾相連．⑵平行四邊形法則的特點：共起點．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷運算性質：①交換律：abba；②結合律：abcabc；③

a00aa．

⑸坐標運算：設ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

C

18、向量減法運算：

⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量．

⑵坐標運算：設ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．x,y設、兩點的坐標分別為x1,y1","p":{"h":9.665,"w":4.429,"x":364.017,"y":977.426,⑵運算律：①aa；②aaa；③abab．

⑶坐標運算：設ax,y，則ax,yx,y．

20、向量共線定理：向量aa0與b共線，當且僅當有唯一一個實數，使ba．

設ax1,y1，其中b0，則當且僅當x1y2x2y10時，向量a、bb0bx2,y2，

共線．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數1、2，使a1e1（不共線的向量e1、e2作e．22為這一平面內所有向量的一組基底）

22、分點坐標公式：設點是線段12上的一點，1、2的坐標分別是x1,y1，x2,y2，xx2y1y2當12時，點的坐標是1,．

1123、平面向量的數量積：

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量與任一向量的數量積為0．

abab；⑵性質：設a和b都是非零向量，則①abab0．②當a與b同向時，22當a與b反向時，abab；aaaa或aaa．③abab．

⑶運算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑷坐標運算：設兩個非零向量ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y2．

若ax,y，則a222xy，或axy．

22設ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y20．

設a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a與b的夾角，則

abcosabx1x2y1y2xy2121xy2222．

恒等變換:

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan（1tantantantantan1tantan）

；⑹tantantan（1tantantantantan1tantan）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sincos．⑵

cos2cos2sin22cos2112sin2（cos2cos212sin21cos22）．

⑶tan22tan1tan2．

26、sincos22sin，其中tan．

，

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高一數學必修1各章知識點總結

第一章集合與函數概念

一、集合有關概念1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性：

(1)元素的確定性如：世界上最高的山

(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的無序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合3.集合的表示：{}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,

北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。注意：常用數集及其記法：

非負整數集（即自然數集）記作：N

正整數集N*或N+整數集Z有理數集Q實數集R

1）列舉法：{a,b,c}

2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合

的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

3）語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn圖:

4、集合的分類：

(1)有限集含有有限個元素的集合(2)無限集含有無限個元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2

=－5｝二、集合間的基本關系1.“包含”關系子集

注意：AB有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2．“相等”關系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)

實例：設A={x|x2

-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”即：①任何一個集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或

BA)

③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1

個真子集三、集合的運算運算交集并集補集類型定由所有屬于A且屬由所有屬于集合A或設S是一個集合，A是義于B的元素所組成屬于集合B的元素所S的一個子集，由S中的集合,叫做A,B的組成的集合，叫做A,B所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子交集．記作AB（讀的并集．記作：AB集A的補集（或余集）

1

作‘A交B’），即（讀作‘A并B’），記作CSA，即AB=｛x|xA，且即AB={x|xA，xB｝．或xB})．CSA={x|xS,且xA}韋恩ABABS圖A示圖1圖2性AA=AAA=A(CuA)(CuB)AΦ=ΦAΦ=A=Cu(AB)AB=BAAB=BAABAABＡ(CuA)(CuB)質ABBABB=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．

例題：

1.下列四組對象，能構成集合的是（）

A某班所有高個子的學生B著名的藝術家C一切很大的書D倒數等于它自身的實數2.集合{a，b，c}的真子集共有個

3.若集合M={y|y=x2

-2x+1,xR},N={x|x≥0}，則M與N的關系是.4.設集合A=x1x2，B=xxa，若AB，則a的取值范圍是5.50名學生做的物理、化學兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有人，化學實驗做得正確得有31人，

兩種實驗都做錯得有4人，則這兩種實驗都做對的有人。

6.用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M=.

7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2

-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2

-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函數的有關概念

1．函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．注意：

1．定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數不小于零；(3)對數式的真數必須大于零；

(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.

40

(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零，

(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.

相同函數的判斷方法：①表達式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）；②定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本21頁相關例2)2．值域:先考慮其定義域(1)觀察法(2)配方法(3)代換法

3.函數圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象．C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.(2)畫法A、描點法：B、圖象變換法

常用變換方法有三種1)平移變換2)伸縮變換3)對稱變換4．區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（2）無窮區(qū)間

（3）區(qū)間的數軸表示．5．映射

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應關系）：A（原象）B（象）”對于映射f：A→B來說，則應滿足：

(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。6.分段函數

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。(2)各部分的自變量的取值情況．

(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．補充：復合函數

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復合函數。

二．函數的性質

1.函數的單調性(局部性質)（1）增函數

設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1＞f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數.區(qū)間D稱為y=f(x)的單調

減區(qū)間.

注意：函數的單調性是函數的局部性質；（2）圖象的特點

如果函數y=f(x)在某個區(qū)間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，在單調區(qū)間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.(3).函數單調區(qū)間與單調性的判定方法(A)定義法：

○

1任取x1，x2∈D，且x1○

3利用函數單調性的判斷函數的最大（�。┲担喝绻�函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，在區(qū)間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；

如果函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞減，在區(qū)間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；例題：

1.求下列函數的定義域：⑴yx22x15⑵x33y1(x12x1)2.設函數f(x)的定義域為[0，1]，則函數f(x2)的定義域為__

3.若函數f(x1)的定義域為[2，3]，則函數f(2x1)的定義域是

4.函數x2(x1)f(x)x2(1x2)，若f(x)3，則x=2x(x2)5.求下列函數的值域：

⑴yx22x3(xR)⑵yx22x3x[1,2](3)yx12x(4)yx24x56.已知函數f(x1)x24x，求函數f(x)，f(2x1)的解析式7.已知函數f(x)滿足2f(x)f(x)3x4，則f(x)=。

8.設f(x)是R上的奇函數，且當x[0,)時,f(x)x(13x),則當x(,0)時f(x)=f(x)在R上的解析式為9.求下列函數的單調區(qū)間：

⑴yx22x3⑵yx22x3⑶yx26x110.判斷函數yx31的單調性并證明你的結論．

11.設函數2f(x)1x判斷它的奇偶性并且求證：x2f(1x)f(x)．

1

第二章基本初等函數

一、指數函數

（一）指數與指數冪的運算

1．根式的概念：一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，

且n∈N*

．

負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作n00。當n是奇數時，nana，當n是偶數時，nan|a|a(a0)a(a0)

2．分數指數冪

正數的分數指數冪的意義，規(guī)定：

mannam(a0,m,nN*,n1)，

amn1m11)

anm(a0,m,nN*,nna0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義3．實數指數冪的運算性質

（1）ararars

(a0,r,sR)；（2）(ar)sars

(a0,r,sR)；

（3）

(ab)raras(a0,r,sR)．（二）指數函數及其性質

1、指數函數的概念：一般地，函數yax(a0,且a1)叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域為R．

注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1．2、指數函數的圖象和性質a>10兩個重要對數：

○

1常用對數：以10為底的對數lgN；○

2自然對數：以無理數e2.71828為底的對數的對數lnN．指數式與對數式的互化

冪值真數

ab＝NlogaN＝b

底數指數對數（二）對數的運算性質

如果a0，且a1，M0，N0，那么：○

1loga(MN)logaM＋logaN；○

2logMaNlogaM－logaN；○

3lognaMnlogaM(nR)．注意：換底公式

logcbabloglog（a0，且a1；c0，且c1；b0）．

ca利用換底公式推導下面的結論（1）logn1ambnmlogab；（2）logablog．ba（二）對數函數

1、對數函數的概念：函數ylogax(a0，且a1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是（0，+∞）．注意：○1對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。如：y2log2x，ylogx5都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數．

5○

2對數函數對底數的限制：(a0，且a1)．2、對數函數的性質：a>10（三）冪函數

1、冪函數定義：一般地，形如yx(aR)的函數稱為冪函數，其中為常數．

2、冪函數性質歸納．

（1）所有的冪函數在（0，+∞）都有定義并且圖象都過點（1，1）；

（2）0時，冪函數的圖象通過原點，并且在區(qū)間[0,)上是增函數．特別地，當1時，冪函數的圖象下凸；當01時，冪函數的圖象上凸；

（3）0時，冪函數的圖象在區(qū)間(0,)上是減函數．在第一象限內，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸．例題：1.已知a>0，a

0，函數y=ax與y=loga(-x)的圖象只能是()

2.計算：①log1322；log272loglog;②24log3=253552=;

2764③0.06413(7)0[(2)3]413160.750.012=83.函數y=log2

1(2x-3x+1)的遞減區(qū)間為

24.若函數f(x)logax(0a1)在區(qū)間[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，則a=5.已知f(x)log1x(a0且a1)，（1）求f(x)的定義域（2）求使f(x)0的x的取值范圍a1x第三章函數的應用

一、方程的根與函數的零點

1、函數零點的概念：對于函數yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的實數

x叫做函數yf(x)(xD)的零點。

2、函數零點的意義：函數yf(x)的零點就是方程f(x)0實數根，亦即函數yf(x)的圖象與x軸交點的橫坐標。

即：方程f(x)0有實數根函數yf(x)的圖象與x軸有交點函數yf(x)有零點．

8

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