導數知識點總結

導數

考試內容：導數的背影．導數的概念．

多項式函數的導數．

利用導數研究函數的單調性和極值．函數的最大值和最小值．考試要求：

（1）了解導數概念的某些實際背景．（2）理解導數的幾何意義．

（3）掌握函數，y=c(c為常數)、y=xn(n∈N+)的導數公式，會求多項式函數的導數．（4）理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會用導數求多項式函數的單調區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值．（5）會利用導數求某些簡單實際問題的最大值和最小值．

知識要點

導數的概念導數的幾何意義、物理意義常見函數的導數導數導數的運算導數的運算法則函數的單調性函數的極值函數的最值

導數的應用

一、導數的概念1．平均變化率

f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfxxx2x1x注1：其中x是自變量的改變量，可正，可負，可零。2：函數的平均變化率可以看作是物體運動的平均速度。2.導數的概念

函數yf(x)在xx0處的瞬時變化率是，limf(x0x)f(x0)ylim

x0xx0x

我們稱它為函數yf(x)在xx0處的導數，記作f(x0)或y|xx0，即

f(x0)=limx0f(x0x)f(x0)

x

3.平均變化率的幾何意義

平均變化率的幾何意義是割線的斜率；4.導數的幾何意義

函數yf(x)在點x0處的導數的幾何意義就是曲線yf(x)在點(x0,f(x0))處的切線的斜率，也就是說，曲線yf(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率是f"(x0)，

"切線方程為yy0f(x)(xx0).

5.導數的背景

（1）切線的斜率（2）瞬時速度（3）邊際成本

6.導函數

當x變化時，f(x)便是x的一個函數，我們稱它為f(x)的導函數.yf(x)的導函數有時也記作y,即

f(x)limx0f(xx)f(x)

x

二.導數的計算

1.基本初等函數的導數公式:

1）若f(x)c(c為常數)，則f(x)0；

12）若f(x)x,則f(x)x;

3）若f(x)sinx,則f(x)cosx4）若f(x)cosx,則f(x)sinx;

xx5）若f(x)a,則f(x)alna

6）若f(x)e,則f(x)e

xx1xlna18）若f(x)lnx,則f(x)

xx7）若f(x)loga,則f(x)2.導數的運算法則

1）[f(x)g(x)]f(x)g(x)

2）[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)3）[f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)]g(x)[g(x)]23.復合函數求導

yf(u)和ug(x),稱則y可以表示成為x的函數,即yf(g(x))為一個復合函數yf(g(x))g(x)

三、導數在研究函數中的應用1.函數的單調性與導數

一般地，函數的單調性與其導數的正負有如下關系：在某個區(qū)間(a,b)內，

如果f(x)0，那么函數yf(x)在這個區(qū)間單調遞增；如果f(x)0，那么函數yf(x)在這個區(qū)間單調遞減.2.函數的極值與導數

極值反映的是函數在某一點附近的大小情況.求函數yf(x)的極值的方法是:

(1)如果在x0附近的左側f(x)0,右側f(x)0,那么f(x0)是極大值;(2)如果在x0附近的左側f(x)0,右側f(x)0,那么f(x0)是極小值;3.函數的最大(小)值與導數

極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數值進行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數值進行比較.

求函數yf(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟（1）求函數yf(x)在(a,b)內的極值；

（2）將函數yf(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值.四、生活中的優(yōu)化問題

利用導數的知識，求函數的最大(小)值,從而解決實際問題

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導數

考試內容：導數的背影．導數的概念．

多項式函數的導數．

利用導數研究函數的單調性和極值．函數的最大值和最小值．考試要求：

（1）了解導數概念的某些實際背景．（2）理解導數的幾何意義．

（3）掌握函數，y=c(c為常數)、y=xn(n∈N+)的導數公式，會求多項式函數的導數．（4）理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會用導數求多項式函數的單調區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值．（5）會利用導數求某些簡單實際問題的最大值和最小值．

知識要點

導數的概念導數的幾何意義、物理意義常見函數的導數導數導數的運算導數的運算法則函數的單調性導數的應用函數的極值函數的最值限limf"(x0)=lim1.導數（導函數的簡稱）的定義：設x0是函數yf(x)定義域的一點，如果自變量

x在x0處有增量x，則函數值y也引起相應的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)稱為函數yf(x)在點x0到x0x之間的平均變化率；如果極xxf(x0x)f(x0)y存在，則稱函數yf(x)在點x0處可導，并把這個極limx0xx0x限叫做yf(x)在x0處的導數，記作f"(x0)或y"|xx0，即

f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x

-1-

注：①x是增量，我們也稱為“改變量”，因為x可正，可負，但不為零.②以知函數yf(x)定義域為A，yf"(x)的定義域為B，則A與B關系為AB.2.函數yf(x)在點x0處連續(xù)與點x0處可導的關系：

⑴函數yf(x)在點x0處連續(xù)是yf(x)在點x0處可導的必要不充分條件.可以證明，如果yf(x)在點x0處可導，那么yf(x)點x0處連續(xù).事實上，令xx0x，則xx0相當于x0.于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

xx0x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f"(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0xx⑵如果yf(x)點x0處連續(xù)，那么yf(x)在點x0處可導，是不成立的.例：f(x)|x|在點x00處連續(xù)，但在點x00處不可導，因為時，

yyy不存在.1；當x＜0時，1，故limx0xxxy|x|，當x＞0xx注：①可導的奇函數函數其導函數為偶函數.

②可導的偶函數函數其導函數為奇函數.3.導數的幾何意義：

函數yf(x)在點x0處的導數的幾何意義就是曲線yf(x)在點(x0,f(x))處的切線的斜率，也就是說，曲線yf(x)在點P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0)，切線方程為yy0f"(x)(xx0).4.求導數的四則運算法則：

(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)

(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c為常數）

vu"v"uu(v0)2vv"注：①u,v必須是可導函數.

②若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它

們的和、差、積、商不一定不可導.

例如：設f(x)2sinx，g(x)cosx，則f(x),g(x)在x0處均不可導，但它們和

2x2x

f(x)g(x)

sinxcosx在x0處均可導.

5.復合函數的求導法則：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x復合函數的求導法則可推廣到多個中間變量的情形.6.函數單調性：

⑴函數單調性的判定方法：設函數yf(x)在某個區(qū)間內可導，如果f"(x)＞0，則

yf(x)為增函數；如果f"(x)＜0，則yf(x)為減函數.

⑵常數的判定方法；

如果函數yf(x)在區(qū)間I內恒有f"(x)=0，則yf(x)為常數.

注：①f(x)0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一個點例外即x=0時f（x）=0，同樣f(x)0是f（x）遞減的充分非必要條件.

②一般地，如果f（x）在某區(qū)間內有限個點處為零，在其余各點均為正（或負），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調增加（或單調減少）的.

7.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數f(x)的極大值，極小值同理）當函數f(x)在點x0處連續(xù)時，

①如果在x0附近的左側f"(x)＞0，右側f"(x)＜0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側f"(x)＜0，右側f"(x)＞0，那么f(x0)是極小值.

也就是說x0是極值點的充分條件是x0點兩側導數異號，而不是f"(x)=0①.此外，函數不可導的點也可能是函數的極值點②.當然，極值是一個局部概念，極值點的大小關系是不確定的，即有可能極大值比極小值�。ê瘮翟谀骋稽c附近的點不同）.注①：若點x0是可導函數f(x)的極值點，則f"(x)=0.但反過來不一定成立.對于可導函數，其一點x0是極值點的必要條件是若函數在該點可導，則導數值為零.例如：函數yf(x)x3，x0使f"(x)=0，但x0不是極值點.

②例如：函數yf(x)|x|，在點x0處不可導，但點x0是函數的極小值點.8.極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數值進行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數值進行比較.

注：函數的極值點一定有意義.9.幾種常見的函數導數：

n)"coxs(arcxs)i"nI.C"0（C為常數）(six11x2

"x)os(xn)"nxn1（nR）s"sinx(arcc(cox)11x2

1"11"(arctx)anII.(lnx)(loagx)loage

xxx21"(ex)"ex

(arcoxt)"1x21(ax)"axlna

III.求導的常見方法：①常用結論：(ln|x|)".

②形如y(xa1)(xa2)...(xan)或y化求代數和形式.

③無理函數或形如yxx這類函數，如yxx取自然對數之后可變形為lnyxlnx，

y"1對兩邊求導可得lnxxy"ylnxyy"xxlnxxx.

yx(xa1)(xa2)...(xan)兩邊同取自然對數，可轉

(xb1)(xb2)...(xbn)1x

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