高一數學第三章函數的應用知識點總結

高一數學第三章函數的應用知識點總結

一、方程的根與函數的零點

1、函數零點的概念：對于函數yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的實數x叫做函數yf(x)(xD)的零點。

2、函數零點的意義：函數yf(x)的零點就是方程f(x)0實數根，亦即函數

yf(x)的圖象與x軸交點的橫坐標。

即：方程f(x)0有實數根函數yf(x)的圖象與x軸有交點函數yf(x)有零點．

3、函數零點的求法：

1（代數法）求方程f(x)0的實數根；○

2（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數yf(x)的圖象○

聯系起來，并利用函數的性質找出零點．

零點存在性定理：如果函數y=f(x)在區(qū)間〔a,b〕上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)＜0,那么，函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點，即存在c(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根。先判定函數單調性，然后證明是否有f（a）f(b)第三章函數的應用習題

一、選擇題

1.下列函數有2個零點的是（）

222y3x10y4x5x10yx3x5y4x4x1A、B、C、D、22.用二分法計算3x3x80在x(1,2)內的根的過程中得：f(1)0，f(1.5)0，

f(1.25)0，則方程的根落在區(qū)間（）

A、(1,1.5)B、(1.5,2)C、(1,1.25)D、(1.25,1.5)

3.若方程axxa0有兩個解，則實數a的取值范圍是A、(1,)B、(0,1)C、(0,)D、

4.函數f(x)=lnx-2x的零點所在的大致區(qū)間是()A.(1,2)B.2,eC.e,3D.e,

5.已知方程x3x10僅有一個正零點，則此零點所在的區(qū)間是()

A．(3,4)B．(2,3)C．(1,2)D．(0,1)

6．函數f(x)lnx2x6的零點落在區(qū)間()A．（2，2.25）B．（2.25，2.5）C．（2.5，2.75）D．（2.75，3）

7.已知函數

fx的圖象是不間斷的，并有如下的對應值表：x1234567fx8735548那么函數在區(qū)間（1，6）上的零點至少有（）個A．5B．4C．3D．28．方程2x1x5的解所在的區(qū)間是Ａ（０，１）Ｂ（１，２）Ｃ（２，３）Ｄ（３，４）

9.方程4x35x60的根所在的區(qū)間為A、(3,2)B、(2,1)C、(1,0)D、(0,1)

10．已知f(x)2x22x，則在下列區(qū)間中，f(x)0有實數解的是（）

）

（）

（）

（(A)（-3，-2）(B)（-1，0）(C)（2，3）(D)（4，5）11．根據表格中的數據，可以判定方程ex-x-2=0的一個根所在的區(qū)間為（）

xexx+2-10.37101212.72327.394320.095A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)12、方程

x12x根的個數為（）

A、0B、1C、2D、3二、填空題

13.下列函數：1)y=lgx；2)y2;3)y=x2;4)y=|x|－1;其中有2個零點的函數的序號是。

x214.若方程3x2的實根在區(qū)間m,n內，且m,nZ,nm1，

x則mn.

222f(x)(x1)(x2)(x2x3)的零點是15、函數（必須寫全所有的零點）。

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第三章函數的應用

一、方程的根與函數的零點

1、函數零點的概念：對于函數yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的實數x叫做函數yf(x)(xD)的零點。

2、函數零點的意義：函數yf(x)的零點就是方程f(x)0實數根，亦即函數

yf(x)的圖象與x軸交點的橫坐標。

即：方程f(x)0有實數根函數yf(x)的圖象與x軸有交點函數yf(x)有零點．

3、函數零點的求法：

1（代數法）求方程f(x)0的實數根；○

2（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數yf(x)的圖象聯系起來，○

并利用函數的性質找出零點．

4、基本初等函數的零點：

①正比例函數ykx(k0)僅有一個零點。

k(k0)沒有零點。x③一次函數ykxb(k0)僅有一個零點。

②反比例函數y④二次函數yax2bxc(a0)．

（1）△＞０，方程ax2bxc0(a0)有兩不等實根，二次函數的圖象與x軸有兩個交點，二次函數有兩個零點．

（2）△＝０，方程ax2bxc0(a0)有兩相等實根，二次函數的圖象與x軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點．

（3）△＜０，方程ax2bxc0(a0)無實根，二次函數的圖象與x軸無交點，二次函數無零點．

⑤指數函數ya(a0,且a1)沒有零點。⑥對數函數ylogax(a0,且a1)僅有一個零點1.

⑦冪函數yx，當n0時，僅有一個零點0，當n0時，沒有零點。

5、非基本初等函數（不可直接求出零點的較復雜的函數），函數先把fx轉化成，這另fx0，再把復雜的函數拆分成兩個我們常見的函數y1,y2（基本初等函數）個函數圖像的交點個數就是函數fx零點的個數。

6、選擇題判斷區(qū)間a,b上是否含有零點，只需滿足fafb0。Eg：試判斷方程xx2x10在區(qū)間[0,2]內是否有實數解？并說明理由。

1

42x7、確定零點在某區(qū)間a,b個數是唯一的條件是:①fx在區(qū)間上連續(xù)，且fafb0②在區(qū)間a,b上單調。Eg：求函數f(x)2xlg(x1)2的零點個數。

8、函數零點的性質：

從“數”的角度看：即是使f(x)0的實數；

從“形”的角度看：即是函數f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標；

若函數f(x)的圖象在xx0處與x軸相切，則零點x0通常稱為不變號零點；若函數f(x)的圖象在xx0處與x軸相交，則零點x0通常稱為變號零點．

Eg：一元二次方程根的分布討論

一元二次方程根的分布的基本類型

2axbxc0（a0）的兩實根為x1，x2，且x1x2.設一元二次方程

k為常數，則一元二次方程根的k分布（即x1，x2相對于k的位置）或根在區(qū)間上的

分布主要有以下基本類型：

表一：（兩根與0的大小比較）

分布情況兩個負根即兩根都小于0兩個正根即兩根都大于0一正根一負根即一個根小于0，一個大于0x10,x20x10,x20x10x2a0）大致圖象（得出的結論0b02af000b02af00f00

大致圖象（a0）得出的結論0b02af000b02aaf000b02af000b02aaf00f00（不綜討合論結a論）

af00表二：（兩根與k的大小比較）

分布情況兩根都小于k即兩根都大于k即一個根小于k，一個大于k即x1k,x2kx1k,x2kx1kx2a0）大致圖象（kkk得出的結論0bk2afk00bk2afk0fk0大致圖象（a0）得出的結論0bk2afk00bk2aafk00bk2afk00bk2aafk0fk0（不綜討合論結a論）a0）afk0分布情況大致圖象（得出的結論表三：（根在區(qū)間上的分布）

兩根都在m,n內兩根有且僅有一根在m,n一根在m,n內，另一根在p,q內（有兩種情況，只畫了一種）內，mnpq0fm0fn0bmn2afmfn0fm0fn0fmfn0fp0fq0fpfq0或

大致圖象（a0）得出的結論0fm0fn0bmn2a綜合結論fmfn0fm0fn0fmfn0fp0fq0fpfq0或fmfn0fpfq0（a不）討論

fmfn0Eg：（1）關于x的方程x22(m3)x2m140有兩個實根，且一個大于1，一個小于1，求m的取值范圍？

（2）關于x的方程x2(m3)x2m140有兩實根在[0,4]內，求m的取值范圍？

2（3）關于x的方程mx2(m3)x2m140有兩個實根，且一個大于4，一個小于4，求m的取值范圍？

9、二分法的定義

對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且滿足f(a)f(b)0的函數

yf(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，

使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．

10、給定精確度ε，用二分法求函數f(x)零點近似值的步驟：（1）確定區(qū)間[a，b]，驗證f(a)f(b)0，給定精度；（2）求區(qū)間(a，b)的中點x1；（3）計算f(x1)：

①若f(x1)=0，則x1就是函數的零點；

②若f(a)f(x1)14、根據散點圖設想比較接近的可能的函數模型：一次函數模型：f(x)kxb(k0);二次函數模型：g(x)ax2bxc(a0);冪函數模型：h(x)axb(a0);

指數函數模型：l(x)abxc（a0,b＞0，b1）

利用待定系數法求出各解析式，并對各模型進行分析評價，選出合適的函數模型

12

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