復變函數(shù)論文

復變函數(shù)的精確之美學習復變的感想

對于理科類學科的學習而言，最重要的一點莫過于概念的清晰程度。因為所有的推導、證明以及應用，歸根結(jié)底都是在基本概念的基礎上衍生而來的。因此只有將相關概念真正理解同時牢記于心，才可以真正地走進一門學科，真正的領略一門學科的美妙與精華所在。

在我的理解看來，復變函數(shù)從某種意義上來說可以看成是大一所學的高等數(shù)學的一種延伸與拓展。在高等數(shù)學，也就是我們通常所說的微積分學中，我們所研究討論的對象都是實函數(shù)，也就是函數(shù)的定義域與值域所代表的集合都是實數(shù)集合。這樣的研究將許多生活中遇到的數(shù)學問題用實變函數(shù)的微分與積分表達出來，讓我們能夠很快地了解一些微積分中的基本概念、知識以及應用技巧。但是同時，實變函數(shù)的應用范圍十分狹窄。尤其是電氣工程等方面的計算和問題中，實變函數(shù)幾乎可以算是毫無用武之地。因此為了能夠更好地解決工程中遇到的問題，我們便對現(xiàn)有的實變函數(shù)進行了拓展延伸，創(chuàng)建了復變函數(shù)體系，并總結(jié)發(fā)現(xiàn)了一系列復變函數(shù)的定義、定理、方法以及技巧。

精確是所有理科研究學科，尤其是數(shù)學學科的一個重要特點，這一點在復變函數(shù)中也體現(xiàn)的尤為明顯。復變函數(shù)是將復數(shù)域之間的映射的特點和關系進行全面系統(tǒng)的總結(jié)和歸納。其研究對象就是復數(shù)域之間映射的函數(shù)關系。因此在復變函數(shù)的研究中基本都是代數(shù)運算，

沒有帶數(shù)字之后為計算方便而出現(xiàn)約等的情況。當然復變函數(shù)的精確美遠遠不止表現(xiàn)與這些方面。

為了解決問題的方便，復變函數(shù)的研究中總結(jié)歸納了許多的定理和方法。但每一種的定理與方法都有其十分明確的適用范圍和使用方法。這是為了保證它們在被使用于求解相應問題時不出現(xiàn)錯用、誤用而最終導致結(jié)果有偏差甚至完全錯誤。比如在我們在計算閉路積分時常運用的留數(shù)定理就有其很明確的適用范圍。此外，復變函數(shù)在許多相似概念的區(qū)分上也做到了精確二字。如可導、連續(xù)以及解析之間的區(qū)別，在復變函數(shù)中就體現(xiàn)的尤為明顯。

作為一門研究數(shù)的學科，復變函數(shù)對于結(jié)果的精確程度是有著相當高的要求的。在絕大部分問題上，復變函數(shù)的求解結(jié)果都是一個代數(shù)式或者函數(shù)式。也就是說這樣的結(jié)果保證了求解的100%的準確度，過程中的每一個步驟都是嚴格按照數(shù)學上的公理以及定理進行推導和演算的，不存在任何意義上的誤差。

但在有些問題上，復變函數(shù)為了求解的方便，經(jīng)常采用極限以及逼近的思想。有部分人認為這便是復變函數(shù)中不精確的一大表現(xiàn)，而我認為恰恰相反。舉一個最簡單卻也最典型的例子來說，復變函數(shù)與實變函數(shù)中都存在有級數(shù)展開這一運算方法。級數(shù)是表示解析函數(shù)，研究解析函數(shù)性質(zhì)的有力工具，可以在解決某些特定問題時極大程度地簡化運算過程。其核心思想是將函數(shù)通過相應定理展開成無數(shù)個對應的多項式之和，再借助多項式運算中的一些便利條件幫助我們解決相應的函數(shù)問題�？梢哉f極限與逼近就是級數(shù)展開的精華所在。我認

為這樣的數(shù)學思想非但不是不精確的表現(xiàn)，恰恰相反，這正是復變函數(shù)中為了追求能夠更加精確的解決問題而探索出的一條極佳的解題方法。對于某些特定的復雜的函數(shù)問題，如果我們不采用級數(shù)方法對其進行研究，我們幾乎無法獲得函數(shù)的一些性質(zhì)與特性，甚至我們連它的導數(shù)和積分都無法求得，更不要說在工程問題中應用這些函數(shù)來解決實際問題。而級數(shù)思想以嚴格證明過的極限逼近作為基礎，即在n趨近于無窮大時相應多項式的和與函數(shù)式完全等價的。因此以函數(shù)的級數(shù)展開形式作為研究對象是完全不會導致精確性降低的，反而能夠為我們更加方便精確的研究和使用復變函數(shù)鋪平了道路。

以上為本人本學期的復變函數(shù)期末總結(jié)論文。該論文只是就本人粗淺的學識和個人觀點，對復變函數(shù)的一些特征和優(yōu)越性作出淺顯的分析以及點評，由于知識和能力有限，文章中必然有一些問題和許多不到位的地方存在，懇請老師批評指正。

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河南城建學院

測會與城市空間信息系

論復變函數(shù)在專業(yè)中的應用

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《復變函數(shù)》結(jié)課論文

摘要：1.復變函數(shù)的概況

2.復變函數(shù)的廣泛應用

3.復變函數(shù)在本專業(yè)中的應用

關鍵詞：1.復變函數(shù)

2.GIS

3.應用、發(fā)展

正文：

論復變函數(shù)在專業(yè)中的應用

1.復變函數(shù)的概況

在我們已經(jīng)學過的《高等數(shù)學》課程中共，研究的主要對象是復變函數(shù)。經(jīng)過理論的探討和生產(chǎn)實踐的發(fā)展，又提出了對復變函數(shù)的研究，而研究復變函數(shù)之間的相互依賴關系，就是復變函數(shù)這門課程的主要任務。

復數(shù)的概念起源于求方程的根，在二次、三次代數(shù)方程的求根中就出現(xiàn)了負數(shù)開平方的情況。在很長時間里，人們對這類數(shù)不能理解。但隨著數(shù)學的發(fā)展，這類數(shù)的重要性就日益顯現(xiàn)出來。復數(shù)的一般形式是：a+bi，其中i是虛數(shù)單位。以復數(shù)作為自變量的函數(shù)就叫做復變函數(shù)，而與之相關的理論就是復變函數(shù)論。解析函數(shù)是復變函數(shù)中一類具有解析性質(zhì)的函數(shù)，復變函數(shù)論主要就是研究復數(shù)域上的解析函數(shù)，因此通常也稱復變函數(shù)論為解析函數(shù)論。復變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀，就像微積分的直接擴展統(tǒng)治了十八世紀的數(shù)學那樣，復變函數(shù)這個新的分支統(tǒng)治了十九世紀的數(shù)學。當時的數(shù)學家公認復變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學分支，并且稱為這個世紀的數(shù)學享受，也有人稱贊它是抽象科學中最和諧的理論之一。

復變函數(shù)中的許多概念、理論和方法是實變函數(shù)在復數(shù)領域內(nèi)的推廣和發(fā)展，因而它們之間有著許多的相似之處。但是，復變函數(shù)又有與實變函數(shù)不同之點。在我們學習中，要勤于思考，善于比較，既要注意共同點，更要弄清不同點。這樣，才能抓住本質(zhì)，融會貫通。

復變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學、自然科學和工程技術中有著廣泛的應用，是解決諸如流體力學、電磁學、熱學、彈性理論中的平面問題的有力工具。而自然科學和生產(chǎn)技術的發(fā)展又極大地推動了復變函數(shù)的發(fā)展，豐富了它的內(nèi)容。我們在學習的過程中，要正確理解和掌握復變函數(shù)中的數(shù)學概念和方法，逐步培養(yǎng)利用這些概念和方法解決實際問題的能力。2.復變函數(shù)的廣泛應用

復變函數(shù)在很多領域都有重要的應用，其涵蓋面極廣，甚至可以用來解決一些復

雜的計算問題。作為最豐饒的數(shù)學學科的分支，復變函數(shù)在數(shù)學領域的應用尤為可見。特別是在解析函數(shù)的微分理論（Cauchy-Riemann方程），積分理論（Cauchy積分定理雨積分公式），Weierstrass的級數(shù)理論（Taylor級數(shù)和Laurent級數(shù)）等方面的應用。除此之外，在別的領域內(nèi)的應用也是顯而易見的，諸如流體力學、電磁學、熱學等領域。比如說，物理學上有很多不同的穩(wěn)定平面場，所謂場就是每點對應有物理量的一個區(qū)域，對它們的計算就是通過復變函數(shù)來解決的。俄國的茹柯夫斯基在設計飛機的時候，就用復變函數(shù)論解決了飛機機翼的結(jié)構問題，他在運用復變函數(shù)論解決流體力學和航空力學方面的問題上也做出了貢獻。

3.復變函數(shù)在地理信息系統(tǒng)中的應用

既然復變函數(shù)在其他領域內(nèi)有那么重要的應用，那么在本專業(yè)中是否同樣有著重要的應用呢，是否起著不可或缺的作用呢？下面討論這個問題。

首先，地理信息系統(tǒng)（GeographicInformationSystem或Geo－Informationsystem，GIS）它是一種特定的十分重要的空間信息系統(tǒng)。它是在計算機硬、軟件系統(tǒng)支持下，對整個或部分地球表層（包括大氣層）空間中的有關地理分布數(shù)據(jù)進行采集、儲存、管理、運算、分析、顯示和描述的技術系統(tǒng)。

那么，正是因為GIS對復雜函數(shù)的計算要求以及空間函數(shù)的分析，復變函數(shù)的廣泛應用同樣也滲透到了地理信息系統(tǒng)領域，它對復雜函數(shù)的計算能力使得在GIS上的應用也不可或缺。

GIS的操作對象是空間數(shù)據(jù)和屬性數(shù)據(jù)，即點、線、面、體這類有三維要素的地理實體�？臻g數(shù)據(jù)的最根本特點是每一個數(shù)據(jù)都按統(tǒng)一的地理坐標進行編碼，實現(xiàn)對其定位、定性和定量的描述、這是GIS區(qū)別于其它類型信息系統(tǒng)的根本標志，也是其技術難點之所在。而復變函數(shù)中的黎曼曲面理論就是用來解決這種問題的。復變函數(shù)研究多值函數(shù)，黎曼曲面理論是研究多值函數(shù)的主要工具。由許多層面安放在一起而構成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面，可以使多值函數(shù)的單值枝和枝點概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對于某一個多值函數(shù)，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函數(shù)在黎曼曲面上就變成單值函數(shù)。

函數(shù)f(z)=sqrt(z)的黎曼曲面

數(shù)學上，特別是在復分析中，一個黎曼曲面是一個一維復流形。黎曼曲面可以被認為是一個復平面的變形版本:在每一點局部看來，他們就像一片復平面，但整體的拓撲可能極為不同。例如，他們可以看起來像球或是環(huán)，或者兩個頁面粘在一起。黎曼曲面的要點在于在他們之間可以定義全純函數(shù)。黎曼曲面現(xiàn)在被認為是研究這些函數(shù)的整體行為的自然選擇，特別是像平方根和自然對數(shù)這樣的多值函數(shù)。

于是乎，黎曼曲面理論成了復變函數(shù)域和幾何間的一座橋梁，能夠使我們把比較深奧的函數(shù)的解析性質(zhì)和幾何聯(lián)系起來。復變函數(shù)論中用幾何方法來說明、解決問題的內(nèi)容，一般叫做幾何函數(shù)論，幾何函數(shù)論將復變函數(shù)應用到了GIS的空間數(shù)據(jù)中，從而實現(xiàn)了對其定位，定性和定量的描述。

把單值解析函數(shù)的一些條件適當?shù)馗淖兒脱a充，以滿足實際研究工作的需要，這種經(jīng)過改變的解析函數(shù)叫做廣義解析函數(shù)。廣義解析函數(shù)所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函數(shù)的一些基本性質(zhì)，只要稍加改變后，同樣適用于廣義解析函數(shù)。

如果能將你所在州的降雨和你所在縣上空的照片聯(lián)系起來，可以判斷出哪塊濕地在一年的某些時候會干涸。一個GIS系統(tǒng)就能夠進行這樣的分析，它能夠?qū)⒉煌瑏碓吹男畔⒁圆煌�的形式應用。對于源�?shù)據(jù)的基本要求是確定變量的位置。位置可能由經(jīng)度，緯度和海拔的x、y、z坐標來標注，或是由其他地理編碼系統(tǒng)比如ZIP碼，又或是高速公路英里標志來表示。任何可以定位存放的變量都能被反饋到GIS。一些政府機構和非政府組織正在制作能夠直接訪問GIS的計算機數(shù)據(jù)庫，可以將地圖中不同類型的數(shù)據(jù)格式輸入GIS。GIS系統(tǒng)同時能將不是地圖形式的數(shù)字信息轉(zhuǎn)換成可識別利用的形式。例如，通過分析由遙感生成的數(shù)字衛(wèi)星圖像，可以生成一個與地圖類似的有關植被覆蓋的數(shù)字信息層。同樣,人口調(diào)查或水文表格數(shù)據(jù)也可在GIS系統(tǒng)中被轉(zhuǎn)換成作為主題信息層的地圖形式。

GIS的技術優(yōu)勢在于它的數(shù)據(jù)綜合、模擬與分析評價能力，可以得到常規(guī)方法或普通信息系統(tǒng)難以得到的重要信息，實現(xiàn)地理空間過程演化的模擬和預測。

復變函數(shù)也研究多值函數(shù)，正是這個特性，使得它在GIS上廣泛使用。黎曼曲面理論是研究多值函數(shù)的主要工具。利用黎曼曲面，可以使多值函數(shù)的單值枝和枝點概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對于某一個多值函數(shù)，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函數(shù)在黎曼曲面上就變成單值函數(shù)。這就是關于黎曼曲面的研究還對另一門數(shù)學分支拓撲學有比較大的影響，逐漸地趨向于討論它的拓撲性質(zhì)。這里就不再討論了。后記：

在寫論文的過程中，通過論文資料的收集，結(jié)合平時老師的講解和自己的理解和

整理，讓我了解到了復變函數(shù)在各個領域中的應用和地位，尤其是在本專業(yè)中的應用及其不可或缺的地位。對于理科的物理專業(yè)、工科的空氣動力學專業(yè)、化工流變學專業(yè)以及一切與研究電場有關的專業(yè)和研究流體流速場有關的專業(yè)，尤其是在信息處理及計算上更是與復變函數(shù)緊密結(jié)合。所以說它對于我們來說是很基礎的一門課程。通過對復變函數(shù)的學習，使我掌握復變函數(shù)的基本理論和方法，并獲得初步應用的能力。地理信息系統(tǒng)作為一門介于信息科學、空間科學、管理科學之間的一門新興交叉學科，是傳統(tǒng)科學與現(xiàn)代技術相結(jié)合的產(chǎn)物，而復變函數(shù)在其發(fā)展中起著不可或缺的推動作用。特別是現(xiàn)在GIS已經(jīng)深入到了人們的日常生活中，它被公認為是21世紀的支柱性產(chǎn)業(yè)。同時GIS明顯地具有多學科交叉的特征，既要吸取諸多相關學科的精華和營養(yǎng)，并逐步形成獨立的邊緣學科，又將被多個相關學科所運用，并推動它們的發(fā)展。那么我們就要掌握好這門學科的知識，并且應用于實際。

參考書目：[1]復變函數(shù)與積分變換[M]高等教育出版社，201*

[2]測繪與空間地理信息，201*(1)

[3]同濟大學學報，201*(4)

[4]地理信息系統(tǒng)原理[M]黃河水利出版社，201*[5]多變函數(shù)理論基礎[M]高等教育出版社,1996[6]復變函數(shù)及應用[M],機械工業(yè)出版社，201*

[7]工程數(shù)學矢量分析與場論[M]，高等教育出版社，201*

[8]復變函數(shù)，高等教育出版社，1996（4）[9]復變函數(shù)，科學出版社，201*

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