高中數(shù)學高考導數(shù)題型分析

高中數(shù)學高考導數(shù)題型分析

一、考試內容

導數(shù)的概念，導數(shù)的幾何意義，幾種常見函數(shù)的導數(shù)；兩個函數(shù)的和、差、基本導數(shù)公式，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值，函數(shù)的最大值和最小值。二、熱點題型分析

題型一：利用導數(shù)幾何意義求切線方程

31,3處的切線方程是yx2y4xx1．曲線在點

42．若曲線f(x)xx在P點處的切線平行于直線3xy0，則P點的坐標為（1，0）

4yx3．若曲線的一條切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為4xy30

4．求下列直線的方程：

322（1）曲線yxx1在P(-1,1)處的切線；（2）曲線yx過點P(3,5)的切線；

即xy20即y2x1或y10x25解：（1）y1x1，（2）y12(x1)或y2510(x5)，題型二：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，極值、最值

32f(x)xaxbxc,過曲線yf(x)上的點P(1,f(1))的切線方程為y=3x+11．已知函數(shù)

（Ⅰ）若函數(shù)f(x)在x2處有極值，求f(x)的表達式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數(shù)yf(x)在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函數(shù)yf(x)在區(qū)間[－2，1]上單調遞增，求實數(shù)b的取值范圍

32解：（1）f(x)x2x4x5.（2）在[－3，1]上最大值是13。

（3）y=f(x)在[－2，1]上單調遞增，又f(x)3x2axb,由①知2a+b=0。

2依題意f(x)在[－2，1]上恒有f(x)≥0，即3xbxb0.

2x①當

b1時,f(x)minf(1)3bb0,b66；b2時,f(x)minf(2)122bb0,b6；

x②當

612bb221時,f(x)min0,則0b6.b12③當

綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是[0,)

第1頁共5頁

32f(x)xaxbxc在x1和x1時取極值，且f(2)4．2．已知三次函數(shù)

(1)求函數(shù)yf(x)的表達式；(2)求函數(shù)yf(x)的單調區(qū)間和極值；

3f(x)x3x2．解：(1)

]上是減函數(shù)；(2)當x1時，f(x)0．∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(,1]上是增函數(shù)；在區(qū)間[1,１在區(qū)間[1,)上是增函數(shù)．函數(shù)f(x)的極大值是f(1)0，極小值是f(1)4．3．設函數(shù)f(x)x(xa)(xb)．

（1）若f(x)的圖象與直線5xy80相切，切點橫坐標為２，且f(x)在x1處取極值，求實數(shù)a,b的值；

（2）當b=1時，試證明：不論a取何實數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點．解：（1）a=1，b=1．

題型三：利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象

/1．f（x）的導函數(shù)f(x)的圖象如右圖所示，則f（x）的圖象只可能是（D）

（A）（B）（C）（D）2．函數(shù)

642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的圖像為3(A)

o24-2-4xo24-2-4

323．方程2x6x70在(0,2)內根的個數(shù)為(B)

A、0B、1C、2D、3

第2頁共5頁

題型四：利用單調性、極值、最值情況，求參數(shù)取值范圍

1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31．設函數(shù)

（1）求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間、極值.

（2）若當x[a1,a2]時，恒有|f(x)|a，試確定a的取值范圍.

解：（1）f(x)在（a，3a）上單調遞增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上單調遞減

4f極小(x)ba33，x3a時，f極小(x)bxa時，

22f(x)x4ax3a（2）∵0a1，∴對稱軸x2aa1，

∴f(x)在[a+1，a+2]上單調遞減

(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax∴，

|a|f|a，|fmin依題|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a

44a1[,1)解得5，又0a1∴a的取值范圍是5

22．已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3與x＝1時都取得極值（1）求a、b的值與函

數(shù)f（x）的單調區(qū)間（2）若對x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范圍。

22解：（1）函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（－，－3）與（1，＋），遞減區(qū)間是（－3，1）1222（2）f（x）＝x3－2x2－2x＋c，x〔－1，2〕，當x＝－3時，f（x）＝27＋c

為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2

題型五：導數(shù)與不等式的綜合

3a0,函數(shù)f(x)xax在[1,)上是單調函數(shù).1．設

（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）設

x0≥1，f(x)≥1，且f(f(x0))x0，求證：f(x0)x0.

第3頁共5頁

22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,這解：（1）若在上是單調遞減函數(shù)，則須

樣的實數(shù)a不存在.故f(x)在1,上不可能是單調遞減函數(shù).

2若f(x)在1,上是單調遞增函數(shù)，則a≤3x，

2x1,,故3x3.從而0

11(,1),(,)(1,)f(x)的單調遞增區(qū)間是22；單調減區(qū)間為

f(1)2514927f()f(0)8，f(x)的極小值為216，又82749m8，最小值16

2749581616

易知f(x)的極大值為

f(x)在[1，0]上的最大值

M對任意x1,x2(1,0)，恒有

|f(x1)f(x2)|Mm題型六：導數(shù)在實際中的應用

1．請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心o1的距離為多少時，帳篷的體積最大？

3當OO1為2m時，帳篷的體積最大，最大體積為163m。

2．統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量

y（升）關于行駛速度x（千米/

y小時）的函數(shù)解析式可以表示為：

13x3x8(0x120).12800080

已知甲、乙兩地相距100千米。

（I）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（II）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

13(403408)2.517.580解：（I）128000（升）。

（II）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。當汽車以80

千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升。

第5頁共5頁

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導數(shù)題型分析及解題方法

一、考試內容

導數(shù)的概念，導數(shù)的幾何意義，幾種常見函數(shù)的導數(shù)；兩個函數(shù)的和、差、基本導數(shù)公式，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值，函數(shù)的最大值和最小值。二、熱點題型分析

題型一：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。

32f(x)x3x2在區(qū)間1,1上的最大值是21．

22．已知函數(shù)yf(x)x(xc)在x2處有極大值，則常數(shù)c＝6；

33．函數(shù)y13xx有極小值－1,極大值3

題型二：利用導數(shù)幾何意義求切線方程

31,3處的切線方程是yx2y4xx1．曲線在點

42．若曲線f(x)xx在P點處的切線平行于直線3xy0，則P點的坐標為（1，0）

4yx3．若曲線的一條切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為4xy30

4．求下列直線的方程：

322（1）曲線yxx1在P(-1,1)處的切線；（2）曲線yx過點P(3,5)的切線；

32y/3x22xky/|x－13－21解：（1）點P(1,1)在曲線yxx1上，

即xy20所以切線方程為y1x1，

2/（2）顯然點P（3，5）不在曲線上，所以可設切點為A(x0,y0)，則y0x0①又函數(shù)的導數(shù)為y2x，

所以過

2x0A(x0,y0)點的切線的斜率為

ky/|xx02x0，又切線過A(x0,y0)、P(3,5)點，所以有

y05x03x01x05y1或y250②，由①②聯(lián)立方程組得，0，即切點為（1，1）時，切線斜率為

k12x02;；當切點為（5，25）時，切線斜率為k22x010；所以所求的切線有兩條，方程分

即y2x1或y10x25別為y12(x1)或y2510(x5)，

題型三：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，極值、最值

32f(x)xaxbxc,過曲線yf(x)上的點P(1,f(1))的切線方程為y=3x+11．已知函數(shù)

第1頁共61頁（Ⅰ）若函數(shù)f(x)在x2處有極值，求f(x)的表達式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數(shù)yf(x)在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函數(shù)yf(x)在區(qū)間[－2，1]上單調遞增，求實數(shù)b的取值范圍

322f(x)xaxbxc,求導數(shù)得f(x)3x2axb.解：（1）由

過yf(x)上點P(1,f(1))的切線方程為：

yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).

的切線方程為y3x1.而過yf(x)上P[1,f(1)]32ab3故ac32ab0即ac3

①②

∵yf(x)在x2時有極值,故f(2)0,4ab12③

32f(x)x2x4x5.由①②③得a=2，b=－4，c=5∴

2（2）f(x)3x4x4(3x2)(x2).

23x2時,f(x)0;當2x時,f(x)0;3當

2當x1時,f(x)0.f(x)極大f(2)133又f(1)4,f(x)在[－3，1]上最大值是13。

2f(x)3x2axb,由①知2a+b=0。（3）y=f(x)在[－2，1]上單調遞增，又

2依題意f(x)在[－2，1]上恒有f(x)≥0，即3xbxb0.

x①當

b1時,f(x)minf(1)3bb0,b66；b2時,f(x)minf(2)122bb0,b6；

x②當

612bb221時,f(x)min0,則0b6.b12③當

綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是[0,)

322．已知三次函數(shù)f(x)xaxbxc在x1和x1時取極值，且f(2)4．

第2頁共61頁(1)求函數(shù)yf(x)的表達式；(2)求函數(shù)yf(x)的單調區(qū)間和極值；

(3)若函數(shù)g(x)f(xm)4m(m0)在區(qū)間[m3,n]上的值域為[4,16]，試求m、n應滿足的條件．

(x)3x22axbf解：(1)，

2由題意得，1,1是3x2axb0的兩個根，解得，a0,b3．

3f(2)4f(x)x3x2．c2再由可得．∴

(x)3x233(x1)(x1)f(2)，

當x1時，f(x)0；當x1時，f(x)0；當1x1時，f(x)0；當x1時，f(x)0；

當x1時，f(x)0．∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(,1]上是增函數(shù)；]上是減函數(shù)；在區(qū)間[1,)上是增函數(shù)．在區(qū)間[1,１函數(shù)f(x)的極大值是f(1)0，極小值是f(1)4．

(3)函數(shù)g(x)的圖象是由f(x)的圖象向右平移m個單位，向上平移4m個單位得到的，所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,nm]上的值域為[44m,164m]（m0）．而f(3)20，∴44m20，即m4．

于是，函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,n4]上的值域為[20,0]．令f(x)0得x1或x2．由f(x)的單調性知，1n4綜上所述，m、n應滿足的條件是：m4，且3n

3．設函數(shù)f(x)x(xa)(xb)．

（1）若f(x)的圖象與直線5xy80相切，切點橫坐標為２，且f(x)在x1處取極值，求實數(shù)a,b的值；

6．

2，即3n6．

第3頁共61頁（2）當b=1時，試證明：不論a取何實數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點．

解：（1）f(x)3x2(ab)xab.

由題意f(2)5,f(1)0，代入上式，解之得：a=1，b=1．

2令f(x)0得方程3x2(a1)xa0.（2）當b=1時，

224(aa1)0,故方程有兩個不同實根x1,x2．因

""xxf(x)3(xx)(xx)f(x)的符號如下：2，由12可判斷不妨設1"""xx時，xxx時，xx時，f(x)f(x)f(x)＞０1122當＞０；當＜０；當

因此x1是極大值點，x2是極小值點．，當b=1時，不論a取何實數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點。

題型四：利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象

/f1．如右圖：是f（x）的導函數(shù)，(x)的圖象如右圖所示，則f（x）的圖象只可能是（D）

（A）（B）（C）（D）2．函數(shù)

642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的圖像為3(A)

o24-2-4xo24-2-4

323．方程2x6x70在(0,2)內根的個數(shù)為(B)

A、0B、1C、2D、3

題型五：利用單調性、極值、最值情況，求參數(shù)取值范圍

第4頁共61頁1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31．設函數(shù)

（1）求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間、極值.

（2）若當x[a1,a2]時，恒有|f(x)|a，試確定a的取值范圍.

22xa,x23af(x)x4ax3a解：（1）=(x3a)(xa)，令f(x)0得1列表如下：

x（-∞，a）a

（a，3a）3a+

0極大

（3a，+∞）-

f(x)f(x)

-0極小

∴f(x)在（a，3a）上單調遞增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上單調遞減

4f極小(x)ba33，x3a時，f極小(x)bxa時，

22f(x)x4ax3a（2）∵0a1，∴對稱軸x2aa1，

∴f(x)在[a+1，a+2]上單調遞減

(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax∴，

|a|f|a，|fmin依題|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a

44a1[,1)解得5，又0a1∴a的取值范圍是5

22．已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3與x＝1時都取得極值（1）求a、b的值與函

數(shù)f（x）的單調區(qū)間（2）若對x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范圍。解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b

－由f（

21241－a＋b＝0－3）＝93，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝2，b＝－2

f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函數(shù)f（x）的單調區(qū)間如下表：

第5頁共61頁x22（－，－3）－302（－3，1）－1（1，＋）f（x）＋f（x）0＋極大值極小值22所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（－，－3）與（1，＋），遞減區(qū)間是（－3，1）1222（2）f（x）＝x3－2x2－2x＋c，x〔－1，2〕，當x＝－3時，f（x）＝27＋c

為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2

題型六：利用導數(shù)研究方程的根

131．已知平面向量a=(3,－1).b=(2,2).

（1）若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使x=a+(t2－3)b，y=-ka+tb，x⊥y，

試求函數(shù)關系式k=f(t)；

(2)據(jù)(1)的結論，討論關于t的方程f(t)－k=0的解的情況.

yxy解：(1)∵x⊥，∴=0即[a+(t2-3)b](-ka+tb)=0.

22整理后得-ka+[t-k(t2-3)]ab+(t2-3)b=0

122∵ab=0，a=4，b=1，∴上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)

11(2)討論方程4t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)=4t(t2-3)與直線y=k的交點個

數(shù).

33于是f′(t)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).

令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當t變化時，f′(t)、f(t)的變化情況如下表：tf′(t)F(t)(-∞,-1)+-10極大值(-1,1)-10極小值(1,+∞)+1當t=－1時，f(t)有極大值，f(t)極大值=2.

第6頁共61頁1當t=1時，f(t)有極小值，f(t)極小值=－21函數(shù)f(t)=4t(t2-3)的圖象如圖13－2－1所示，

可觀察出：

11(1)當k＞2或k＜－2時,方程f(t)－k=0有且只有一解；11(2)當k=2或k=－2時,方程f(t)－k=0有兩解；11(3)當－2＜k＜2時,方程f(t)－k=0有三解.

題型七：導數(shù)與不等式的綜合

3a0,函數(shù)f(x)xax在[1,)上是單調函數(shù).1．設

（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）設

x0≥1，f(x)≥1，且f(f(x0))x0，求證：f(x0)x0.

22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,這解：（1）若在上是單調遞減函數(shù)，則須

樣的實數(shù)a不存在.故f(x)在1,上不可能是單調遞減函數(shù).

2若f(x)在1,上是單調遞增函數(shù)，則a≤3x，

2x1,,故3x3.從而0

3f(x)(x2)(xa)22．已知a為實數(shù)，函數(shù)

（1）若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍（2）若f"(1)0，（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間

（Ⅱ）證明對任意的

x1、x2(1,0)，不等式

|f(x1)f(x2)|516恒成立

f(x)x3ax2解：

333xaf"(x)3x22ax22，2

函數(shù)f(x)的圖象有與x軸平行的切線，f"(x)0有實數(shù)解

4a243

39330a2（，2][2，）22，所以a的取值范圍是22，

399310af"(x)3x2x3(x)(x1)24，222，11f"(x)0,1x2；由2

f"(1)0，

32a由f"(x)0,x1或

x11(,1),(,)(1,)f(x)的單調遞增區(qū)間是22；單調減區(qū)間為

f(1)2514927f()f(0)8，f(x)的極小值為216，又82749m8，最小值16

2749581616

易知f(x)的最大值為

f(x)在[1，0]上的最大值

M對任意x1,x2(1,0)，恒有

|f(x1)f(x2)|Mm

題型八：導數(shù)在實際中的應用

1．請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心o1的距離為多少時，帳篷的體積最大？解：設OO1為xm，則1x4

第8頁共61頁由題設可得正六棱錐底面邊長為：

32(x1)282xx2，（單位：m）

6故底面正六邊形的面積為：

333((82xx2)22282xx)=24，（單位：m）

帳篷的體積為：

V（x）1333(1612xx3)(82xx2)[(x1)1]3322（單位：m）

V"（x）求導得

3(123x2)2。

（x）0，解得x2（不合題意，舍去）令V"，x2，（x）0，V（x）當1x2時，V"為增函數(shù)；（x）0，V（x）當2x4時，V"為減函數(shù)。

∴當x2時，V（x）最大。

3答：當OO1為2m時，帳篷的體積最大，最大體積為163m。

2．統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量

y（升）關于行駛速度x（千米/

y小時）的函數(shù)解析式可以表示為：

13x3x8(0x120).12800080

已知甲、乙兩地相距100千米。

（I）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（II）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

1002.5x40解：（I）當時，汽車從甲地到乙地行駛了40小時，

13(403408)2.517.580要耗沒128000（升）。

100（II）當速度為x千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了x小時，設耗油量為h(x)升，131001280015h(x)(x3x8).x(0x120),12800080x1280x4依題意得

x800x3803h"(x)2(0x120).2640x640x

第9頁共61頁

令h"(x)0,得x80.

當x(0,80)時，h"(x)0,h(x)是減函數(shù)；當x(80,120)時，h"(x)0,h(x)是增函數(shù)。

當x80時，h(x)取到極小值h(80)11.25.

因為h(x)在(0,120]上只有一個極值，所以它是最小值。

答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升。

題型九：導數(shù)與向量的結合

3113a(，),b(，).2222若存在不同時為零的兩個實數(shù)s、t及實數(shù)k，使1．設平面向量

xa(t2k)b,ysatb,且xy，

（1）求函數(shù)關系式Sf(t)；

，上是單調函數(shù)，求k的取值范圍。（2）若函數(shù)Sf(t)在1a(解：（1）

3113,),b(,).ab1，ab02222

又xy,xy0，得2ab0，（tk）（satb）2222即sa（ttk）b-（tstsk）ab0。s（t2k）t0，故s（ft）t3kt。

（2）

f（t）3t2k且f（t）在1，上是單調函數(shù)，

0則在1,上有f(t)0或f（t）222f(t)03tk0k3tk(3t)mink3；由

22f(t)03tk0k3t由。

因為在t∈1,上3t是增函數(shù)，所以不存在k，使k3t在1,上恒成立。故k的取值范

22圍是k3。

第10頁共61頁導數(shù)題型分析及解題方法

一、考試內容

導數(shù)的概念，導數(shù)的幾何意義，幾種常見函數(shù)的導數(shù)；兩個函數(shù)的和、差、基本導數(shù)公式，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值，函數(shù)的最大值和最小值。二、熱點題型分析

題型一：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。

32f(x)x3x2在區(qū)間1,1上的最大值是21．

22．已知函數(shù)yf(x)x(xc)在x2處有極大值，則常數(shù)c＝6；

33．函數(shù)y13xx有極小值－1,極大值3

題型二：利用導數(shù)幾何意義求切線方程

31,3處的切線方程是yx2y4xx1．曲線在點

42．若曲線f(x)xx在P點處的切線平行于直線3xy0，則P點的坐標為（1，0）

4yx3．若曲線的一條切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為4xy30

4．求下列直線的方程：

322（1）曲線yxx1在P(-1,1)處的切線；（2）曲線yx過點P(3,5)的切線；

32y/3x22xky/|x－13－21解：（1）點P(1,1)在曲線yxx1上，

即xy20所以切線方程為y1x1，

2/（2）顯然點P（3，5）不在曲線上，所以可設切點為A(x0,y0)，則y0x0①又函數(shù)的導數(shù)為y2x，

所以過

2x0A(x0,y0)點的切線的斜率為

ky/|xx02x0，又切線過A(x0,y0)、P(3,5)點，所以有

y05x03x01x05y1或y250②，由①②聯(lián)立方程組得，0，即切點為（1，1）時，切線斜率為

k12x02;；當切點為（5，25）時，切線斜率為k22x010；所以所求的切線有兩條，方程分

即y2x1或y10x25別為y12(x1)或y2510(x5)，

題型三：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，極值、最值

32f(x)xaxbxc,過曲線yf(x)上的點P(1,f(1))的切線方程為y=3x+11．已知函數(shù)

第11頁共61頁（Ⅰ）若函數(shù)f(x)在x2處有極值，求f(x)的表達式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數(shù)yf(x)在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函數(shù)yf(x)在區(qū)間[－2，1]上單調遞增，求實數(shù)b的取值范圍

322f(x)xaxbxc,求導數(shù)得f(x)3x2axb.解：（1）由

過yf(x)上點P(1,f(1))的切線方程為：

yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).

的切線方程為y3x1.而過yf(x)上P[1,f(1)]32ab3故ac32ab0即ac3

①②

∵yf(x)在x2時有極值,故f(2)0,4ab12③

32f(x)x2x4x5.由①②③得a=2，b=－4，c=5∴

2（2）f(x)3x4x4(3x2)(x2).

23x2時,f(x)0;當2x時,f(x)0;3當

2當x1時,f(x)0.f(x)極大f(2)133又f(1)4,f(x)在[－3，1]上最大值是13。

2f(x)3x2axb,由①知2a+b=0。（3）y=f(x)在[－2，1]上單調遞增，又

2依題意f(x)在[－2，1]上恒有f(x)≥0，即3xbxb0.

x①當

b1時,f(x)minf(1)3bb0,b66；b2時,f(x)minf(2)122bb0,b6；

x②當

612bb221時,f(x)min0,則0b6.b12③當

綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是[0,)

322．已知三次函數(shù)f(x)xaxbxc在x1和x1時取極值，且f(2)4．

第12頁共61頁(1)求函數(shù)yf(x)的表達式；(2)求函數(shù)yf(x","p":{"h":16.69,"w":7.131,"x":243（2）當b=1時，試證明：不論a取何實數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點．

解：（1）f(x)3x2(ab)xab.

由題意f(2)5,f(1)0，代入上式，解之得：a=1，b=1．

2令f(x)0得方程3x2(a1)xa0.（2）當b=1時，

224(aa1)0,故方程有兩個不同實根x1,x2．因

""xxf(x)3(xx)(xx)f(x)的符號如下：2，由12可判斷不妨設1"""xx時，xxx時，xx時，f(x)f(x)f(x)＞０1122當＞０；當＜０；當

因此x1是極大值點，x2是極小值點．，當b=1時，不論a取何實數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點。

題型四：利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象

/f1．如右圖：是f（x）的導函數(shù)，(x)的圖象如右圖所示，則f（x）的圖象只可能是（D）

（A）（B）（C）（D）2．函數(shù)

642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的圖像為3(A)

o24-2-4xo24-2-4

323．方程2x6x70在(0,2)內根的個數(shù)為(B)

A、0B、1C、2D、3

題型五：利用單調性、極值、最值情況，求參數(shù)取值范圍

第14頁共61頁1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31．設函數(shù)

（1）求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間、極值.

（2）若當x[a1,a2]時，恒有|f(x)|a，試確定a的取值范圍.

22xa,x23af(x)x4ax3a解：（1）=(x3a)(xa)，令f(x)0得1列表如下：

x（-∞，a）a

（a，3a）3a+

0極大

（3a，+∞）-

f(x)f(x)

-0極小

∴f(x)在（a，3a）上單調遞增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上單調遞減

4f極小(x)ba33，x3a時，f極小(x)bxa時，

22f(x)x4ax3a（2）∵0a1，∴對稱軸x2aa1，

∴f(x)在[a+1，a+2]上單調遞減

(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax∴，

|a|f|a，|fmin依題|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a

44a1[,1)解得5，又0a1∴a的取值范圍是5

22．已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3與x＝1時都取得極值（1）求a、b的值與函

數(shù)f（x）的單調區(qū)間（2）若對x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范圍。解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b

－由f（

21241－a＋b＝0－3）＝93，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝2，b＝－2

f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函數(shù)f（x）的單調區(qū)間如下表：

第15頁共61頁x22（－，－3）－302（－3，1）－1（1，＋）f（x）＋f（x）0＋極大值極小值22所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（－，－3）與（1，＋），遞減區(qū)間是（－3，1）1222（2）f（x）＝x3－2x2－2x＋c，x〔－1，2〕，當x＝－3時，f（x）＝27＋c

為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2

題型六：利用導數(shù)研究方程的根

131．已知平面向量a=(3,－1).b=(2,2).

（1）若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使x=a+(t2－3)b，y=-ka+tb，x⊥y，

試求函數(shù)關系式k=f(t)；

(2)據(jù)(1)的結論，討論關于t的方程f(t)－k=0的解的情況.

yxy解：(1)∵x⊥，∴=0即[a+(t2-3)b](-ka+tb)=0.

22整理后得-ka+[t-k(t2-3)]ab+(t2-3)b=0

122∵ab=0，a=4，b=1，∴上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)

11(2)討論方程4t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)=4t(t2-3)與直線y=k的交點個

數(shù).

33于是f′(t)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).

令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當t變化時，f′(t)、f(t)的變化情況如下表：tf′(t)F(t)(-∞,-1)+-10極大值(-1,1)-10極小值(1,+∞)+1當t=－1時，f(t)有極大值，f(t)極大值=2.

第16頁共61頁1當t=1時，f(t)有極小值，f(t)極小值=－21函數(shù)f(t)=4t(t2-3)的圖象如圖13－2－1所示，

可觀察出：

11(1)當k＞2或k＜－2時,方程f(t)－k=0有且只有一解；11(2)當k=2或k=－2時,方程f(t)－k=0有兩解；11(3)當－2＜k＜2時,方程f(t)－k=0有三解.

題型七：導數(shù)與不等式的綜合

3a0,函數(shù)f(x)xax在[1,)上是單調函數(shù).1．設

（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）設

x0≥1，f(x)≥1，且f(f(x0))x0，求證：f(x0)x0.

22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,這解：（1）若在上是單調遞減函數(shù)，則須

樣的實數(shù)a不存在.故f(x)在1,上不可能是單調遞減函數(shù).

2若f(x)在1,上是單調遞增函數(shù)，則a≤3x，

2x1,,故3x3.從而0

3f(x)(x2)(xa)22．已知a為實數(shù)，函數(shù)

（1）若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍（2）若f"(1)0，（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間

（Ⅱ）證明對任意的

x1、x2(1,0)，不等式

|f(x1)f(x2)|516恒成立

f(x)x3ax2解：

333xaf"(x)3x22ax22，2

函數(shù)f(x)的圖象有與x軸平行的切線，f"(x)0有實數(shù)解

4a243

39330a2（，2][2，）22，所以a的取值范圍是22，

399310af"(x)3x2x3(x)(x1)24，222，11f"(x)0,1x2；由2

f"(1)0，

32a由f"(x)0,x1或

x11(,1),(,)(1,)f(x)的單調遞增區(qū)間是22；單調減區(qū)間為

f(1)2514927f()f(0)8，f(x)的極小值為216，又82749m8，最小值16

2749581616

易知f(x)的最大值為

f(x)在[1，0]上的最大值

M對任意x1,x2(1,0)，恒有

|f(x1)f(x2)|Mm

題型八：導數(shù)在實際中的應用

1．請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心o1的距離為多少時，帳篷的體積最大？解：設OO1為xm，則1x4

第18頁共61頁由題設可得正六棱錐底面邊長為：

32(x1)282xx2，（單位：m）

6故底面正六邊形的面積為：

333((82xx2)22282xx)=24，（單位：m）

帳篷的體積為：

V（x）1333(1612xx3)(82xx2)[(x1)1]3322（單位：m）

V"（x）求導得

3(123x2)2。

（x）0，解得x2（不合題意，舍去）令V"，x2，（x）0，V（x）當1x2時，V"為增函數(shù)；（x）0，V（x）當2x4時，V"為減函數(shù)。

∴當x2時，V（x）最大。

3答：當OO1為2m時，帳篷的體積最大，最大體積為163m。

2．統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量

y（升）關于行駛速度x（千米/

y小時）的函數(shù)解析式可以表示為：

13x3x8(0x120).12800080

已知甲、乙兩地相距100千米。

（I）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（II）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

1002.5x40解：（I）當時，汽車從甲地到乙地行駛了40小時，

13(403408)2.517.580要耗沒128000（升）。

100（II）當速度為x千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了x小時，設耗油量為h(x)升，131001280015h(x)(x3x8).x(0x120),12800080x1280x4依題意得

x800x3803h"(x)2(0x120).2640x640x

第19頁共61頁

令h"(x)0,得x80.

當x(0,80)時，h"(x)0,h(x)是減函數(shù)；當x(80,120)時，h"(x)0,h(x)是增函數(shù)。

當x80時，h(x)取到極小值h(80)11.25.

因為h(x)在(0,120]上只有一個極值，所以它是最小值。

答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升。

題型九：導數(shù)與向量的結合

3113a(，),b(，).2222若存在不同時為零的兩個實數(shù)s、t及實數(shù)k，使1．設平面向量

xa(t2k)b,ysatb,且xy，

（1）求函數(shù)關系式Sf(t)；

，上是單調函數(shù)，求k的取值范圍。（2）若函數(shù)Sf(t)在1a(解：（1）

3113,),b(,).ab1，ab02222

又xy,xy0，得2ab0，（tk）（satb）2222即sa（ttk）b-（tstsk）ab0。s（t2k）t0，故s（ft）t3kt。

（2）

f（t）3t2k且f（t）在1，上是單調函數(shù)，

0則在1,上有f(t)0或f（t）222f(t)03tk0k3tk(3t)mink3；由

22f(t)03tk0k3t由。

因為在t∈1,上3t是增函數(shù)，所以不存在k，使k3t在1,上恒成立。故k的取值范

22圍是k3。

第20頁共61頁

導數(shù)題型分析及解題方法

一、考試內容

導數(shù)的概念，導數(shù)的幾何意義，幾種常見函數(shù)的導數(shù)；兩個函數(shù)的和、差、基本導數(shù)公式，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值，函數(shù)的最大值和最小值。二、熱點題型分析

題型一：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。

32f(x)x3x2在區(qū)間1,1上的最大值是21．

22．已知函數(shù)yf(x)x(xc)在x2處有極大值，則常數(shù)c＝6；

33．函數(shù)y13xx有極小值－1,極大值3

題型二：利用導數(shù)幾何意義求切線方程

31,3處的切線方程是yx2y4xx1．曲線在點

42．若曲線f(x)xx在P點處的切線平行于直線3xy0，則P點的坐標為（1，0）

4yx3．若曲線的一條切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為4xy30

4．求下列直線的方程：

322（1）曲線yxx1在P(-1,1)處的切線；（2）曲線yx過點P(3,5)的切線；

解：（1）

點P(1,1)在曲線yx3x21上，y/3x22xky/|x－13－21

即xy20所以切線方程為y1x1，

2/（2）顯然點P（3，5）不在曲線上，所以可設切點為A(x0,y0)，則y0x0①又函數(shù)的導數(shù)為y2x，

所以過

2x0A(x0,y0)點的切線的斜率為

ky/|xx02x0，又切線過A(x0,y0)、P(3,5)點，所以有

y05x03x01x05y1或y250②，由①②聯(lián)立方程組得，0，即切點為（1，1）時，切線斜率為

k12x02;；當切點為（5，25）時，切線斜率為k22x010；所以所求的切線有兩條，方程分

即y2x1或y10x25別為y12(x1)或y2510(x5)，

題型三：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，極值、最值

第21頁共61頁32f(x)xaxbxc,過曲線yf(x)上的點P(1,f(1))的切線方程為y=3x+11．已知函數(shù)

（Ⅰ）若函數(shù)f(x)在x2處有極值，求f(x)的表達式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數(shù)yf(x)在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函數(shù)yf(x)在區(qū)間[－2，1]上單調遞增，求實數(shù)b的取值范圍

322解：（1）由f(x)xaxbxc,求導數(shù)得f(x)3x2axb.

過yf(x)上點P(1,f(1))的切線方程為：

yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).

的切線方程為y3x1.而過yf(x)上P[1,f(1)]32ab3故ac32ab0即ac3

①②

∵yf(x)在x2時有極值,故f(2)0,4ab12③

32由①②③得a=2，b=－4，c=5∴f(x)x2x4x5.

2f(x)3x4x4(3x2)(x2).（2）

23x2時,f(x)0;當2x時,f(x)0;3當

2當x1時,f(x)0.f(x)極大f(2)133又f(1)4,f(x)在[－3，1]上最大值是13。

（3）y=f(x)在[－2，1]上單調遞增，又f(x)3x2axb,由①知2a+b=0。

2依題意f(x)在[－2，1]上恒有f(x)≥0，即3xbxb0.

2x①當

b1時,f(x)minf(1)3bb0,b66；b2時,f(x)minf(2)122bb0,b6；

x②當

612bb221時,f(x)min0,則0b6.b12③當

綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是[0,)

第22頁共61頁32f(x)xaxbxc在x1和x1時取極值，且f(2)4．2．已知三次函數(shù)

(1)求函數(shù)yf(x)的表達式；(2)求函數(shù)yf(x)的單調區(qū)間和極值；

(3)若函數(shù)g(x)f(xm)4m(m0)在區(qū)間[m3,n]上的值域為[4,16]，試求m、n應滿足的條件．

2解：(1)f(x)3x2axb，

2由題意得，1,1是3x2axb0的兩個根，解得，a0,b3．

3f(2)4f(x)x3x2．c2再由可得．∴2(2)f(x)3x33(x1)(x1)，

當x1時，f(x)0；當x1時，f(x)0；當1x1時，f(x)0；當x1時，f(x)0；

當x1時，f(x)0．∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(,1]上是增函數(shù)；]在區(qū)間[1,１上是減函數(shù)；在區(qū)間[1,)上是增函數(shù)．

函數(shù)f(x)的極大值是f(1)0，極小值是f(1)4．

(3)函數(shù)g(x)的圖象是由f(x)的圖象向右平移m個單位，向上平移4m個單位得到的，所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,nm]上的值域為[44m,164m]（m0）．而f(3)20，∴44m20，即m4．

于是，函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,n4]上的值域為[20,0]．令f(x)0得x1或x2．由f(x)的單調性知，1n4綜上所述，m、n應滿足的條件是：m4，且3n

3．設函數(shù)f(x)x(xa)(xb)．

（1）若f(x)的圖象與直線5xy80相切，切點橫坐標為２，且f(x)在x1處取極值，

6．

2，即3n6．

第23頁共61頁求實數(shù)a,b的值；

（2）當b=1時，試證明：不論a取何實數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點．

2f(x)3x2(ab)xab.解：（1）

由題意f(2)5,f(1)0，代入上式，解之得：a=1，b=1．

2令f(x)0得方程3x2(a1)xa0.（2）當b=1時，

24(aa1)0,故方程有兩個不同實根x1,x2．因

""xxf(x)3(xx)(xx)f1212不妨設，由可判斷(x)的符號如下："""xx時，xxx時，xx時，f(x)f(x)f(x)＞０1122當＞０；當＜０；當

因此x1是極大值點，x2是極小值點．，當b=1時，不論a取何實數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點。

題型四：利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象

/f1．如右圖：是f（x）的導函數(shù)，(x)的圖象如右圖所示，則f（x）的圖象只可能是（D）

（A）（B）（C）（D）2．函數(shù)

642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的圖像為3(A)

o24-2-4xo24-2-4

323．方程2x6x70在(0,2)內根的個數(shù)為(B)

A、0B、1C、2D、3

第24頁共61頁

題型五：利用單調性、極值、最值情況，求參數(shù)取值范圍

1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31．設函數(shù)

（1）求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間、極值.

（2）若當x[a1,a2]時，恒有|f(x)|a，試確定a的取值范圍.

22xa,x23a解：（1）f(x)x4ax3a=(x3a)(xa)，令f(x)0得1列表如下：

x（-∞，a）a

（a，3a）3a+

0極大

（3a，+∞）-

f(x)f(x)

-0極小

∴f(x)在（a，3a）上單調遞增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上單調遞減

4f極小(x)ba33，x3a時，f極小(x)bxa時，

22f(x)x4ax3a（2）∵0a1，∴對稱軸x2aa1，

∴f(x)在[a+1，a+2]上單調遞減

(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax∴，

|a|f|a，|fmin依題|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a

44a1[,1)解得5，又0a1∴a的取值范圍是5

22．已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3與x＝1時都取得極值（1）求a、b的值與函

數(shù)f（x）的單調區(qū)間（2）若對x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范圍。解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b

－由f（

21241－a＋b＝0－3）＝93，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝2，b＝－2

第25頁共61頁f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函數(shù)f（x）的單調區(qū)間如下表：x22（－，－3）－302（－3，1）－1（1，＋）f（x）＋f（x）0＋極大值極小值22所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（－，－3）與（1，＋），遞減區(qū)間是（－3，1）1222（2）f（x）＝x3－2x2－2x＋c，x〔－1，2〕，當x＝－3時，f（x）＝27＋c

為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2

題型六：利用導數(shù)研究方程的根

131．已知平面向量a=(3,－1).b=(2,2).

（1）若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使x=a+(t2－3)b，y=-ka+tb，x⊥y，

試求函數(shù)關系式k=f(t)；

(2)據(jù)(1)的結論，討論關于t的方程f(t)－k=0的解的情況.

yxy解：(1)∵x⊥，∴=0即[a+(t2-3)b](-ka+tb)=0.

22整理后得-ka+[t-k(t2-3)]ab+(t2-3)b=0

122∵ab=0，a=4，b=1，∴上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)

11(2)討論方程4t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)=4t(t2-3)與直線y=k的交點個

數(shù).

33于是f′(t)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).

令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當t變化時，f′(t)、f(t)的變化情況如下表：tf′(t)F(t)(-∞,-1)+-10極大值(-1,1)-10極小值(1,+∞)+1當t=－1時，f(t)有極大值，f(t)極大值=2.

第26頁共61頁1當t=1時，f(t)有極小值，f(t)極小值=－21函數(shù)f(t)=4t(t2-3)的圖象如圖13－2－1所示，

可觀察出：

11(1)當k＞2或k＜－2時,方程f(t)－k=0有且只有一解；11(2)當k=2或k=－2時,方程f(t)－k=0有兩解；11(3)當－2＜k＜2時,方程f(t)－k=0有三解.

題型七：導數(shù)與不等式的綜合

3a0,函數(shù)f(x)xax在[1,)上是單調函數(shù).1．設

（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）設

x0≥1，f(x)≥1，且f(f(x0))x0，求證：f(x0)x0.

22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,這解：（1）若在上是單調遞減函數(shù)，則須

樣的實數(shù)a不存在.故f(x)在1,上不可能是單調遞減函數(shù).

2若f(x)在1,上是單調遞增函數(shù)，則a≤3x，

2x1,,故3x3.從而0

3f(x)(x2)(xa)22．已知a為實數(shù)，函數(shù)

（1）若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍（2）若f"(1)0，（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間

（Ⅱ）證明對任意的

x1、x2(1,0)，不等式

|f(x1)f(x2)|516恒成立

f(x)x3ax2解：

333xaf"(x)3x22ax22，2

函數(shù)f(x)的圖象有與x軸平行的切線，f"(x)0有實數(shù)解

4a243

39330a2（，2][2，）22，所以a的取值范圍是22，

399310af"(x)3x2x3(x)(x1)24，222，11f"(x)0,1x2；由2

f"(1)0，

32a由f"(x)0,x1或

x11(,1),(,)(1,)f(x)的單調遞增區(qū)間是22；單調減區(qū)間為

f(1)2514927f()f(0)8，f(x)的極小值為216，又82749m8，最小值16

2749581616

易知f(x)的最大值為

f(x)在[1，0]上的最大值

M對任意x1,x2(1,0)，恒有

|f(x1)f(x2)|Mm

題型八：導數(shù)在實際中的應用

1．請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心o1的距離為多少時，帳篷的體積最大？解：設OO1為xm，則1x4

第28頁共61頁由題設可得正六棱錐底面邊長為：

32(x1)282xx2，（單位：m）

6故底面正六邊形的面積為：

333((82xx2)22282xx)=24，（單位：m）

帳篷的體積為：

V（x）1333(1612xx3)(82xx2)[(x1)1]3322（單位：m）

V"（x）求導得

3(123x2)2。

（x）0，解得x2（不合題意，舍去）令V"，x2，（x）0，V（x）當1x2時，V"為增函數(shù)；（x）0，V（x）當2x4時，V"為減函數(shù)。

∴當x2時，V（x）最大。

3答：當OO1為2m時，帳篷的體積最大，最大體積為163m。

2．統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量

y（升）關于行駛速度x（千米/

y小時）的函數(shù)解析式可以表示為：

13x3x8(0x120).12800080

已知甲、乙兩地相距100千米。

（I）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（II）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

1002.5x40解：（I）當時，汽車從甲地到乙地行駛了40小時，

13(403408)2.517.580要耗沒128000（升）。

100（II）當速度為x千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了x小時，設耗油量為h(x)升，131001280015h(x)(x3x8).x(0x120),12800080x1280x4依題意得

x800x3803h"(x)2(0x120).2640x640x

第29頁共61頁

令h"(x)0,得x80.

當x(0,80)時，h"(x)0,h(x)是減函數(shù)；當x(80,120)時，h"(x)0,h(x)是增函數(shù)。

當x80時，h(x)取到極小值h(80)11.25.

因為h(x)在(0,120]上只有一個極值，所以它是最小值。

答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升。

題型九：導數(shù)與向量的結合

3113a(，),b(，).2222若存在不同時為零的兩個實數(shù)s、t及實數(shù)k，使1．設平面向量

xa(t2k)b,ysatb,且xy，

（1）求函數(shù)關系式Sf(t)；

，上是單調函數(shù)，求k的取值范圍。（2）若函數(shù)Sf(t)在1a(解：（1）

3113,),b(,).ab1，ab02222

又xy,xy0，得2ab0，（tk）（satb）2222即sa（ttk）b-（tstsk）ab0。s（t2k）t0，故s（ft）t3kt。

（2）

f（t）3t2k且f（t）在1，上是單調函數(shù)，

0則在1,上有f(t)0或f（t）222f(t)03tk0k3tk(3t)mink3；由

22f(t)03tk0k3t由。

因為在t∈1,上3t是增函數(shù)，所以不存在k，使k3t在1,上恒成立。故k的取值范

22圍是k3。

第30頁共61頁

導數(shù)題型分析及解題方法

一、考試內容

導數(shù)的概念，導數(shù)的幾何意義，幾種常見函數(shù)的導數(shù)；兩個函數(shù)的和、差、基本導數(shù)公式，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值，函數(shù)的最大值和最小值。二、熱點題型分析

題型一：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。

32f(x)x3x2在區(qū)間1,1上的最大值是21．

22．已知函數(shù)yf(x)x(xc)在x2處有極大值，則常數(shù)c＝6；

33．函數(shù)y13xx有極小值－1,極大值3

題型二：利用導數(shù)幾何意義求切線方程

31,3處的切線方程是yx2y4xx1．曲線在點

42．若曲線f(x)xx在P點處的切線平行于直線3xy0，則P點的坐標為（1，0）

4yx3．若曲線的一條切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為4xy30

4．求下列直線的方程：

322（1）曲線yxx1在P(-1,1)處的切線；（2）曲線yx過點P(3,5)的切線；

解：（1）

點P(1,1)在曲線yx3x21上，y/3x22xky/|x－13－21

即xy20所以切線方程為y1x1，

2/（2）顯然點P（3，5）不在曲線上，所以可設切點為A(x0,y0)，則y0x0①又函數(shù)的導數(shù)為y2x，

所以過

2x0A(x0,y0)點的切線的斜率為

ky/|xx02x0，又切線過A(x0,y0)、P(3,5)點，所以有

y05x03x01x05y1或y250②，由①②聯(lián)立方程組得，0，即切點為（1，1）時，切線斜率為

k12x02;；當切點為（5，25）時，切線斜率為k22x010；所以所求的切線有兩條，方程分

即y2x1或y10x25別為y12(x1)或y2510(x5)，

題型三：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，極值、最值

第31頁共61頁32f(x)xaxbxc,過曲線yf(x)上的點P(1,f(1))的切線方程為y=3x+11．已知函數(shù)

（Ⅰ）若函數(shù)f(x)在x2處有極值，求f(x)的表達式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數(shù)yf(x)在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函數(shù)yf(x)在區(qū)間[－2，1]上單調遞增，求實數(shù)b的取值范圍

322解：（1）由f(x)xaxbxc,求導數(shù)得f(x)3x2axb.

過yf(x)上點P(1,f(1))的切線方程為：

yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).

的切線方程為y3x1.而過yf(x)上P[1,f(1)]32ab3故ac32ab0即ac3

①②

∵yf(x)在x2時有極值,故f(2)0,4ab12③

32由①②③得a=2，b=－4，c=5∴f(x)x2x4x5.

2f(x)3x4x4(3x2)(x2).（2）

23x2時,f(x)0;當2x時,f(x)0;3當

2當x1時,f(x)0.f(x)極大f(2)133又f(1)4,f(x)在[－3，1]上最大值是13。

（3）y=f(x)在[－2，1]上單調遞增，又f(x)3x2axb,由①知2a+b=0。

2依題意f(x)在[－2，1]上恒有f(x)≥0，即3xbxb0.

2x①當

b1時,f(x)minf(1)3bb0,b66；b2時,f(x)minf(2)122bb0,b6；

x②當

612bb221時,f(x)min0,則0b6.b12③當

綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是[0,)

第32頁共61頁32f(x)xaxbxc在x1和x1時取極值，且f(2)4．2．已知三次函數(shù)

(1)求函數(shù)yf(x)的表達式；(2)求函數(shù)yf(x)的單調區(qū)間和極值；

(3)若函數(shù)g(x)f(xm)4m(m0)在區(qū)間[m3,n]上的值域為[4,16]，試求m、n應滿足的條件．

2解：(1)f(x)3x2axb，

2由題意得，1,1是3x2axb0的兩個根，解得，a0,b3．

3f(2)4f(x)x3x2．c2再由可得．∴2(2)f(x)3x33(x1)(x1)，

當x1時，f(x)0；當x1時，f(x)0；當1x1時，f(x)0；當x1時，f(x)0；

當x1時，f(x)0．∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(,1]上是增函數(shù)；]在區(qū)間[1,１上是減函數(shù)；在區(qū)間[1,)上是增函數(shù)．

函數(shù)f(x)的極大值是f(1)0，極小值是f(1)4．

(3)函數(shù)g(x)的圖象是由f(x)的圖象向右平移m個單位，向上平移4m個單位得到的，所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,nm]上的值域為[44m,164m]（m0）．而f(3)20，∴44m20，即m4．

于是，函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,n4]上的值域為[20,0]．令f(x)0得x1或x2．由f(x)的單調性知，1n4綜上所述，m、n應滿足的條件是：m4，且3n

3．設函數(shù)f(x)x(xa)(xb)．

（1）若f(x)的圖象與直線5xy80相切，切點橫坐標為２，且f(x)在x1處取極值，

6．

2，即3n6．

第33頁共61頁求實數(shù)a,b的值；

（2）當b=1時，試證明：不論a取何實數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點．

2f(x)3x2(ab)xab.解：（1）

由題意f(2)5,f(1)0，代入上式，解之得：a=1，b=1．

2令f(x)0得方程3x2(a1)xa0.（2）當b=1時，

24(aa1)0,故方程有兩個不同實根x1,x2．因

""xxf(x)3(xx)(xx)f1212不妨設，由可判斷(x)的符號如下："""xx時，xxx時，xx時，f(x)f(x)f(x)＞０1122當＞０；當＜０；當

因此x1是極大值點，x2是極小值點．，當b=1時，不論a取何實數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點。

題型四：利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象

/f1．如右圖：是f（x）的導函數(shù)，(x)的圖象如右圖所示，則f（x）的圖象只可能是（D）

（A）（B）（C）（D）2．函數(shù)

642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的圖像為3(A)

o24-2-4xo24-2-4

323．方程2x6x70在(0,2)內根的個數(shù)為(B)

A、0B、1C、2D、3

第34頁共61頁

題型五：利用單調性、極值、最值情況，求參數(shù)取值范圍

1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31．設函數(shù)

（1）求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間、極值.

（2）若當x[a1,a2]時，恒有|f(x)|a，試確定a的取值范圍.

22xa,x23a解：（1）f(x)x4ax3a=(x3a)(xa)，令f(x)0得1列表如下：

x（-∞，a）a

（a，3a）3a+

0極大

（3a，+∞）-

f(x)f(x)

-0極小

∴f(x)在（a，3a）上單調遞增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上單調遞減

4f極小(x)ba33，x3a時，f極小(x)bxa時，

22f(x)x4ax3a（2）∵0a1，∴對稱軸x2aa1，

∴f(x)在[a+1，a+2]上單調遞減

(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax∴，

|a|f|a，|fmin依題|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a

44a1[,1)解得5，又0a1∴a的取值范圍是5

22．已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3與x＝1時都取得極值（1）求a、b的值與函

數(shù)f（x）的單調區(qū)間（2）若對x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范圍。解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b

－由f（

21241－a＋b＝0－3）＝93，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝2，b＝－2

第35頁共61頁f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函數(shù)f（x）的單調區(qū)間如下表：x22（－，－3）－302（－3，1）－1（1，＋）f（x）＋f（x）0＋極大值極小值22所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（－，－3）與（1，＋），遞減區(qū)間是（－3，1）1222（2）f（x）＝x3－2x2－2x＋c，x〔－1，2〕，當x＝－3時，f（x）＝27＋c

為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2

題型六：利用導數(shù)研究方程的根

131．已知平面向量a=(3,－1).b=(2,2).

（1）若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使x=a+(t2－3)b，y=-ka+tb，x⊥y，

試求函數(shù)關系式k=f(t)；

(2)據(jù)(1)的結論，討論關于t的方程f(t)－k=0的解的情況.

yxy解：(1)∵x⊥，∴=0即[a+(t2-3)b](-ka+tb)=0.

22整理后得-ka+[t-k(t2-3)]ab+(t2-3)b=0

122∵ab=0，a=4，b=1，∴上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)

11(2)討論方程4t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)=4t(t2-3)與直線y=k的交點個

數(shù).

33于是f′(t)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).

令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當t變化時，f′(t)、f(t)的變化情況如下表：tf′(t)F(t)(-∞,-1)+-10極大值(-1,1)-10極小值(1,+∞)+1當t=－1時，f(t)有極大值，f(t)極大值=2.

第36頁共61頁1當t=1時，f(t)有極小值，f(t)極小值=－21函數(shù)f(t)=4t(t2-3)的圖象如圖13－2－1所示，

可觀察出：

11(1)當k＞2或k＜－2時,方程f(t)－k=0有且只有一解；11(2)當k=2或k=－2時,方程f(t)－k=0有兩解；11(3)當－2＜k＜2時,方程f(t)－k=0有三解.

題型七：導數(shù)與不等式的綜合

3a0,函數(shù)f(x)xax在[1,)上是單調函數(shù).1．設

（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）設

x0≥1，f(x)≥1，且f(f(x0))x0，求證：f(x0)x0.

22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,這解：（1）若在上是單調遞減函數(shù)，則須

樣的實數(shù)a不存在.故f(x)在1,上不可能是單調遞減函數(shù).

2若f(x)在1,上是單調遞增函數(shù)，則a≤3x，

2x1,,故3x3.從而0

3f(x)(x2)(xa)22．已知a為實數(shù)，函數(shù)

（1）若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍（2）若f"(1)0，（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間

（Ⅱ）證明對任意的

x1、x2(1,0)，不等式

|f(x1)f(x2)|516恒成立

f(x)x3ax2解：

333xaf"(x)3x22ax22，2

函數(shù)f(x)的圖象有與x軸平行的切線，f"(x)0有實數(shù)解

4a243

39330a2（，2][2，）22，所以a的取值范圍是22，

399310af"(x)3x2x3(x)(x1)24，222，11f"(x)0,1x2；由2

f"(1)0，

32a由f"(x)0,x1或

x11(,1),(,)(1,)f(x)的單調遞增區(qū)間是22；單調減區(qū)間為

f(1)2514927f()f(0)8，f(x)的極小值為216，又82749m8，最小值16

2749581616

易知f(x)的最大值為

f(x)在[1，0]上的最大值

M對任意x1,x2(1,0)，恒有

|f(x1)f(x2)|Mm

題型八：導數(shù)在實際中的應用

1．請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心o1的距離為多少時，帳篷的體積最大？解：設OO1為xm，則1x4

第38頁共61頁wenku_39({"font":{"d5c147d433d4b14e8524684a0010027":"宋體","d5c147d433d4b14e8524684a00201*7":"TimesNewRoman","d5c147d433d4b14e8524684a0030027":"宋體","d5c147d433d4b14e8524684a0040027":"TimesNewRomanItalic","d5c147d433d4b14e8524684a0050027":"Symbol","d5c147d433d4b14e8524684a0080027":"TimesNewRomanBoldItalic","d5c147d433d4b14e8524684a00a0027":"TimesNewRomanBold"},"style":[{"t":"style","c":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,0],"s":{"color":"#000000"}},{"t":"style","c":[4,14,20,52,54,1],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0010027"}},{"t":"style","c":[1,4,14,16,20,52,54,2],"s":{"font-size":"15.84"}},{"t":"style","c":[1,4,14,20,34,46,48,52,54,69,3],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0010027"}},{"t":"style","c":[4],"s":{"letter-spacing":"-0.074"}},{"t":"style","c":[7,8,18,22,23,25,27,33,39,43,51,53,55,56,57,58,60,61,64,65,66,70,5],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a00201*7"}},{"t":"style","c":[7,9,11,6],"s":{"font-size":"17.572"}},{"t":"style","c":[7],"s":{"font-size":"17.572"}},{"t":"style","c":[8],"s":{"font-size":"10.271"}},{"t":"style","c":[9],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0050027"}},{"t":"style","c":[9,19,28,38,45,50,67,10],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0050027"}},{"t":"style","c":[11],"s":{"font-size":"17.572"}},{"t":"style","c":[11,15,21,29,30,44,49,63,12],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0040027"}},{"t":"style","c":[11,12,15,21,29,30,36,44,49,63,13],"s":{"font-style":"italic"}},{"t":"style","c":[14],"s":{"letter-spacing":"-0.058"}},{"t":"style","c":[15],"s":{"font-size":"18.704"}},{"t":"style","c":[16],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0030027"}},{"t":"style","c":[18,19,21,43,46,17],"s":{"font-size":"17.998"}},{"t":"style","c":[43,18],"s":{"font-size":"17.998"}},{"t":"style","c":[19],"s":{"font-size":"17.998"}},{"t":"style","c":[20],"s":{"letter-spacing":"-0.079"}},{"t":"style","c":[21],"s":{"font-size":"17.998"}},{"t":"style","c":[22],"s":{"font-size":"10.499"}},{"t":"style","c":[23],"s":{"font-size":"10.776"}},{"t":"style","c":[25,24],"s":{"font-size":"10.402"}},{"t":"style","c":[25],"s":{"font-size":"10.402"}},{"t":"style","c":[27,28,29,26],"s":{"font-size":"18.489"}},{"t":"style","c":[27],"s":{"font-size":"18.489"}},{"t":"style","c":[28],"s":{"font-size":"18.489"}},{"t":"style","c":[29],"s":{"font-size":"18.489"}},{"t":"style","c":[30],"s":{"font-size":"17.856"}},{"t":"style","c":[30,61,31],"s":{"font-size":"17.856"}},{"t":"style","c":[33,34,35,36,38,41,32],"s":{"font-size":"16.32"}},{"t":"style","c":[33],"s":{"font-size":"16.32"}},{"t":"style","c":[34],"s":{"font-size":"16.32"}},{"t":"style","c":[36,38,41,35],"s":{"bold":"true"}},{"t":"style","c":[36],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0080027","font-style":"italic"}},{"t":"style","c":[35,36,38,41,42,37],"s":{"bold":"true"}},{"t":"style","c":[38],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0050027"}},{"t":"style","c":[57,58,60,39],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[39,44,45,57,58,60,40],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[41],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a00a0027"}},{"t":"style","c":[41,42],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a00a0027"}},{"t":"style","c":[43],"s":{"letter-spacing":"1.023"}},{"t":"style","c":[44],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[45],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[46],"s":{"font-size":"17.998"}},{"t":"style","c":[48,49,50,51,53,47],"s":{"font-size":"17.398"}},{"t":"style","c":[48],"s":{"font-size":"17.398"}},{"t":"style","c":[49],"s":{"font-size":"17.398"}},{"t":"style","c":[50],"s":{"font-size":"17.398"}},{"t":"style","c":[53,51],"s":{"font-size":"17.398"}},{"t":"style","c":[52],"s":{"letter-spacing":"-0.087"}},{"t":"style","c":[53],"s":{"letter-spacing":"-1.094"}},{"t":"style","c":[54],"s":{"letter-spacing":"-0.043"}},{"t":"style","c":[55],"s":{"font-size":"18.126"}},{"t":"style","c":[56],"s":{"font-size":"10.272"}},{"t":"style","c":[57],

令h"(x)0,得x80.

當x(0,80)時，h"(x)0,h(x)是減函數(shù)；當x(80,120)時，h"(x)0,h(x)是增函數(shù)。

當x80時，h(x)取到極小值h(80)11.25.

因為h(x)在(0,120]上只有一個極值，所以它是最小值。

答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升。

題型九：導數(shù)與向量的結合

3113a(，),b(，).2222若存在不同時為零的兩個實數(shù)s、t及實數(shù)k，使1．設平面向量

xa(t2k)b,ysatb,且xy，

（1）求函數(shù)關系式Sf(t)；

，上是單調函數(shù)，求k的取值范圍。（2）若函數(shù)Sf(t)在1a(解：（1）

3113,),b(,).ab1，ab02222

又xy,xy0，得2ab0，（tk）（satb）2222即sa（ttk）b-（tstsk）ab0。s（t2k）t0，故s（ft）t3kt。

（2）

f（t）3t2k且f（t）在1，上是單調函數(shù)，

0則在1,上有f(t)0或f（t）222f(t)03tk0k3tk(3t)mink3；由

22f(t)03tk0k3t由。

因為在t∈1,上3t是增函數(shù)，所以不存在k，使k3t在1,上恒成立。故k的取值范

22圍是k3。

第40頁共61頁

導數(shù)題型分析及解題方法

一、考試內容

導數(shù)的概念，導數(shù)的幾何意義，幾種常見函數(shù)的導數(shù)；兩個函數(shù)的和、差、基本導數(shù)公式，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值，函數(shù)的最大值和最小值。二、熱點題型分析

題型一：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。

32f(x)x3x2在區(qū)間1,1上的最大值是21．

22．已知函數(shù)yf(x)x(xc)在x2處有極大值，則常數(shù)c＝6；

33．函數(shù)y13xx有極小值－1,極大值3

題型二：利用導數(shù)幾何意義求切線方程

31,3處的切線方程是yx2y4xx1．曲線在點

42．若曲線f(x)xx在P點處的切線平行于直線3xy0，則P點的坐標為（1，0）

4yx3．若曲線的一條切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為4xy30

4．求下列直線的方程：

322（1）曲線yxx1在P(-1,1)處的切線；（2）曲線yx過點P(3,5)的切線；

解：（1）

點P(1,1)在曲線yx3x21上，y/3x22xky/|x－13－21

即xy20所以切線方程為y1x1，

2/（2）顯然點P（3，5）不在曲線上，所以可設切點為A(x0,y0)，則y0x0①又函數(shù)的導數(shù)為y2x，

所以過

2x0A(x0,y0)點的切線的斜率為

ky/|xx02x0，又切線過A(x0,y0)、P(3,5)點，所以有

y05x03x01x05y1或y250②，由①②聯(lián)立方程組得，0，即切點為（1，1）時，切線斜率為

k12x02;；當切點為（5，25）時，切線斜率為k22x010；所以所求的切線有兩條，方程分

即y2x1或y10x25別為y12(x1)或y2510(x5)，

題型三：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，極值、最值

第41頁共61頁32f(x)xaxbxc,過曲線yf(x)上的點P(1,f(1))的切線方程為y=3x+11．已知函數(shù)

（Ⅰ）若函數(shù)f(x)在x2處有極值，求f(x)的表達式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數(shù)yf(x)在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函數(shù)yf(x)在區(qū)間[－2，1]上單調遞增，求實數(shù)b的取值范圍

322解：（1）由f(x)xaxbxc,求導數(shù)得f(x)3x2axb.

過yf(x)上點P(1,f(1))的切線方程為：

yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).

的切線方程為y3x1.而過yf(x)上P[1,f(1)]32ab3故ac32ab0即ac3

①②

∵yf(x)在x2時有極值,故f(2)0,4ab12③

32由①②③得a=2，b=－4，c=5∴f(x)x2x4x5.

2f(x)3x4x4(3x2)(x2).（2）

23x2時,f(x)0;當2x時,f(x)0;3當

2當x1時,f(x)0.f(x)極大f(2)133又f(1)4,f(x)在[－3，1]上最大值是13。

（3）y=f(x)在[－2，1]上單調遞增，又f(x)3x2axb,由①知2a+b=0。

2依題意f(x)在[－2，1]上恒有f(x)≥0，即3xbxb0.

2x①當

b1時,f(x)minf(1)3bb0,b66；b2時,f(x)minf(2)122bb0,b6；

x②當

612bb221時,f(x)min0,則0b6.b12③當

綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是[0,)

第42頁共61頁32f(x)xaxbxc在x1和x1時取極值，且f(2)4．2．已知三次函數(shù)

(1)求函數(shù)yf(x)的表達式；(2)求函數(shù)yf(x)的單調區(qū)間和極值；

(3)若函數(shù)g(x)f(xm)4m(m0)在區(qū)間[m3,n]上的值域為[4,16]，試求m、n應滿足的條件．

2解：(1)f(x)3x2axb，

2由題意得，1,1是3x2axb0的兩個根，解得，a0,b3．

3f(2)4f(x)x3x2．c2再由可得．∴2(2)f(x)3x33(x1)(x1)，

當x1時，f(x)0；當x1時，f(x)0；當1x1時，f(x)0；當x1時，f(x)0；

當x1時，f(x)0．∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(,1]上是增函數(shù)；]在區(qū)間[1,１上是減函數(shù)；在區(qū)間[1,)上是增函數(shù)．

函數(shù)f(x)的極大值是f(1)0，極小值是f(1)4．

(3)函數(shù)g(x)的圖象是由f(x)的圖象向右平移m個單位，向上平移4m個單位得到的，所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,nm]上的值域為[44m,164m]（m0）．而f(3)20，∴44m20，即m4．

于是，函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,n4]上的值域為[20,0]．令f(x)0得x1或x2．由f(x)的單調性知，1n4綜上所述，m、n應滿足的條件是：m4，且3n

3．設函數(shù)f(x)x(xa)(xb)．

（1）若f(x)的圖象與直線5xy80相切，切點橫坐標為２，且f(x)在x1處取極值，

6．

2，即3n6．

第43頁共61頁求實數(shù)a,b的值；

（2）當b=1時，試證明：不論a取何實數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點．

2f(x)3x2(ab)xab.解：（1）

由題意f(2)5,f(1)0，代入上式，解之得：a=1，b=1．

2令f(x)0得方程3x2(a1)xa0.（2）當b=1時，

24(aa1)0,故方程有兩個不同實根x1,x2．因

""xxf(x)3(xx)(xx)f1212不妨設，由可判斷(x)的符號如下："""xx時，xxx時，xx時，f(x)f(x)f(x)＞０1122當＞０；當＜０；當

因此x1是極大值點，x2是極小值點．，當b=1時，不論a取何實數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點。

題型四：利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象

/f1．如右圖：是f（x）的導函數(shù)，(x)的圖象如右圖所示，則f（x）的圖象只可能是（D）

（A）（B）（C）（D）2．函數(shù)

642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的圖像為3(A)

o24-2-4xo24-2-4

323．方程2x6x70在(0,2)內根的個數(shù)為(B)

A、0B、1C、2D、3

第44頁共61頁

題型五：利用單調性、極值、最值情況，求參數(shù)取值范圍

1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31．設函數(shù)

（1）求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間、極值.

（2）若當x[a1,a2]時，恒有|f(x)|a，試確定a的取值范圍.

22xa,x23a解：（1）f(x)x4ax3a=(x3a)(xa)，令f(x)0得1列表如下：

x（-∞，a）a

（a，3a）3a+

0極大

（3a，+∞）-

f(x)f(x)

-0極小

∴f(x)在（a，3a）上單調遞增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上單調遞減

4f極小(x)ba33，x3a時，f極小(x)bxa時，

22f(x)x4ax3a（2）∵0a1，∴對稱軸x2aa1，

∴f(x)在[a+1，a+2]上單調遞減

(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax∴，

|a|f|a，|fmin依題|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a

44a1[,1)解得5，又0a1∴a的取值范圍是5

22．已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3與x＝1時都取得極值（1）求a、b的值與函

數(shù)f（x）的單調區(qū)間（2）若對x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范圍。解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b

－由f（

21241－a＋b＝0－3）＝93，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝2，b＝－2

第45頁共61頁f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函數(shù)f（x）的單調區(qū)間如下表：x22（－，－3）－302（－3，1）－1（1，＋）f（x）＋f（x）0＋極大值極小值22所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（－，－3）與（1，＋），遞減區(qū)間是（－3，1）1222（2）f（x）＝x3－2x2－2x＋c，x〔－1，2〕，當x＝－3時，f（x）＝27＋c

為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2

題型六：利用導數(shù)研究方程的根

131．已知平面向量a=(3,－1).b=(2,2).

（1）若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使x=a+(t2－3)b，y=-ka+tb，x⊥y，

試求函數(shù)關系式k=f(t)；

(2)據(jù)(1)的結論，討論關于t的方程f(t)－k=0的解的情況.

yxy解：(1)∵x⊥，∴=0即[a+(t2-3)b](-ka+tb)=0.

22整理后得-ka+[t-k(t2-3)]ab+(t2-3)b=0

122∵ab=0，a=4，b=1，∴上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=4t(t2-3)

11(2)討論方程4t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)=4t(t2-3)與直線y=k的交點個

數(shù).

33于是f′(t)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).

令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當t變化時，f′(t)、f(t)的變化情況如下表：tf′(t)F(t)(-∞,-1)+-10極大值(-1,1)-10極小值(1,+∞)+1當t=－1時，f(t)有極大值，f(t)極大值=2.

第46頁共61頁1當t=1時，f(t)有極小值，f(t)極小值=－21函數(shù)f(t)=4t(t2-3)的圖象如圖13－2－1所示，

可觀察出：

11(1)當k＞2或k＜－2時,方程f(t)－k=0有且只有一解；11(2)當k=2或k=－2時,方程f(t)－k=0有兩解；11(3)當－2＜k＜2時,方程f(t)－k=0有三解.

題型七：導數(shù)與不等式的綜合

3a0,函數(shù)f(x)xax在[1,)上是單調函數(shù).1．設

（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）設

x0≥1，f(x)≥1，且f(f(x0))x0，求證：f(x0)x0.

22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,這解：（1）若在上是單調遞減函數(shù)，則須

樣的實數(shù)a不存在.故f(x)在1,上不可能是單調遞減函數(shù).

2若f(x)在1,上是單調遞增函數(shù)，則a≤3x，

2x1,,故3x3.從而0

3f(x)(x2)(xa)22．已知a為實數(shù)，函數(shù)

（1）若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍（2）若f"(1)0，（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間

（Ⅱ）證明對任意的

x1、x2(1,0)，不等式

|f(x1)f(x2)|516恒成立

f(x)x3ax2解：

333xaf"(x)3x22ax22，2

函數(shù)f(x)的圖象有與x軸平行的切線，f"(x)0有實數(shù)解

4a243

39330a2（，2][2，）22，所以a的取值范圍是22，

399310af"(x)3x2x3(x)(x1)24，222，11f"(x)0,1x2；由2

f"(1)0，

32a由f"(x)0,x1或

x11(,1),(,)(1,)f(x)的單調遞增區(qū)間是22；單調減區(qū)間為

f(1)2514927f()f(0)8，f(x)的極小值為216，又82749m8，最小值16

2749581616

易知f(x)的最大值為

f(x)在[1，0]上的最大值

M對任意x1,x2(1,0)，恒有

|f(x1)f(x2)|Mm

題型八：導數(shù)在實際中的應用

1．請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心o1的距離為多少時，帳篷的體積最大？解：設OO1為xm，則1x4

第48頁共61頁由題設可得正六棱錐底面邊長為：

32(x1)282xx2，（單位：m）

6故底面正六邊形的面積為：

333((82xx2)22282xx)=24，（單位：m）

帳篷的體積為：

V（x）1333(1612xx3)(82xx2)[(x1)1]3322（單位：m）

V"（x）求導得

3(123x2)2。

（x）0，解得x2（不合題意，舍去）令V"，x2，（x）0，V（x）當1x2時，V"為增函數(shù)；（x）0，V（x）當2x4時，V"為減函數(shù)。

∴當x2時，V（x）最大。

3答：當OO1為2m時，帳篷的體積最大，最大體積為163m。

2．統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量

y（升）關于行駛速度x（千米/

y小時）的函數(shù)解析式可以表示為：

13x3x8(0x120).12800080

已知甲、乙兩地相距100千米。

（I）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（II）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

1002.5x40解：（I）當時，汽車從甲地到乙地行駛了40小時，

13(403408)2.517.580要耗沒128000（升）。

100（II）當速度為x千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了x小時，設耗油量為h(x)升，131001280015h(x)(x3x8).x(0x120),12800080x1280x4依題意得

x800x3803h"(x)2(0x120).2640x640x

第49頁共61頁

令h"(x)0,得x80.

當x(0,80)時，h"(x)0,h(x)是減函數(shù)；當x(80,120)時，h"(x)0,h(x)是增函數(shù)。

當x80時，h(x)取到極小值h(80)11.25.

因為h(x)在(0,120]上只有一個極值，所以它是最小值。

答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升。

題型九：導數(shù)與向量的結合

3113a(，),b(，).2222若存在不同時為零的兩個實數(shù)s、t及實數(shù)k，使1．設平面向量

xa(t2k)b,ysatb,且xy，

（1）求函數(shù)關系式Sf(t)；

，上是單調函數(shù)，求k的取值范圍。（2）若函數(shù)Sf(t)在1a(解：（1）

3113,),b(,).ab1，ab02222

又xy,xy0，得2ab0，（tk）（satb）2222即sa（ttk）b-（tstsk）ab0。s（t2k）t0，故s（ft）t3kt。

（2）

f（t）3t2k且f（t）在1，上是單調函數(shù)，

0則在1,上有f(t)0或f（t）222f(t)03tk0k3tk(3t)mink3；由

22f(t)03tk0k3t由。

因為在t∈1,上3t是增函數(shù)，所以不存在k，使k3t在1,上恒成立。故k的取值范

22圍是k3。

第50頁共61頁

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