四邊形的小結與復習

四邊形的小結與復習

復習提綱：（通過問題和動手幫助你復習）

（一）動手制作任意三角形、直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形的紙片，分

別繞著一邊的中點、底邊的中點、斜邊的中點、斜邊的中點旋轉180度，讓學生觀察原來的三角形與旋轉后的三角形分別組成什么圖形？（二）多邊形的內角和與外角和1.n邊形的內角和等于2.任意多邊形的外角和等于3．從一個頂點出發(fā)的對角線的條數，這些對角線把n邊形分成個三角形。4．n邊形的對角線一共條。

(三)幾種特殊四邊形：（檢驗對知識的記憶能力和掌握能力）名稱定義性質判定（邊，角，對角線，對稱性）面積平行四邊形矩形菱形正方形梯形檢測練習1．菱形相鄰兩邊中點連線的長分別為7cm和4cm，則菱形的面積為________．

2．平行四邊形有一個角的平分線和一邊相交，且把這邊分成3cm和5cm兩部分，則這平行四邊形周長為________．（兩種情況）

3．矩形一條長邊的中點與另一條長邊的兩端的連線互相垂直，且周長是36cm，則它的長和寬分別是______和_______，對角線的長是_______．4．正方形的對角線為4cm，它的面積為。

5．菱形的對角線長為6和8，則其周長為，面積為。

6．一個正方形和一個等腰三角形有相等的周長，等腰三角形有二邊長為5.6cm和13.2cm，則這個正方形面積為（）．

A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．64cm2

7．直角梯形中，斜腰與底的夾角為60°，若這腰與上底的長都是8cm，則這梯形的周長是（）．

A．24+43B．26+43C．28+43D．32+438、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

(A)等邊三角形。(B)平行四邊形(C)矩形。(D)等腰梯形。9、下列條件中，能判定四邊形為正方形的是（）

(A)對角線相等的平行四邊形；(B)對角線相等且互相垂直的四邊形；(C)對角線相等且互相垂直的平行四邊形；(D)對角線互相平分且互相垂直的四邊形；10、用兩個全等的三角形按不同的方法拼成四邊形，在這些拼出的四邊形中，平行四邊形最多有（）

Ａ．１個Ｂ．２個Ｃ．３個Ｄ．４個

11．園藝師欲用40cm長的一段繩子，圍出一塊平行四邊形的苗圃，使長邊與短邊之比為3：2，求長邊的長度。

12.小樂和媽媽在商店里看到一塊漂亮的方紗巾，非常想買，但媽媽拿起來看時，感覺紗巾好像不是正方形，商店老板看她猶豫不定的樣子，馬上過來拉起一組對角，讓媽媽看這一組對角是否對齊，媽媽還有些疑惑，老板又拉起一組對角，讓她檢驗。你認為老板的方法可信嗎？你能幫小樂的媽媽檢驗出紗巾是否為正方形嗎？

13．如圖，已知四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=13，AD=12，∠B=90°，求四邊形ABCD的面積S．14．已知：如圖，E、F為ABCD的對角線AC所在直線上的兩點，AE=CF，求證：BE=DF．（用兩種證法）．

15．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，CE⊥BO于E，且DE：EB=3：1，OF⊥AB于F，OF=3.6cm，求矩形對角線長．

16．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．

（1）求證：四邊形ACEF是平行四邊形；

（2）當∠B的大小滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形？請回答證明你的結論；（3）四邊形ACEF有可能是正方形嗎？為什么？

17.已知：如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于O，CP∥DB,DP∥AC,CP與DP相交于P點，求證：四邊形CODP是菱形

AODPBC

圖一圖二如果題目中的矩形變?yōu)榱庑?圖一)，結論應變?yōu)槭裁矗咳绻�題目中的矩形變?yōu)檎�方�?圖二)，結論又應變?yōu)槭裁矗?/p>

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[科目]數學[年級]初二[章節(jié)]

[關鍵詞]四邊形/小結/復習[標題]四邊形小結與復習[內容]

教學目標

1．利用基本圖形結構使本章內容系統(tǒng)化．

2．對比掌握各種特殊四邊形的概念，性質和判定方法．3．總結常用添加輔助線的方法．

4．總結本章常用的數學思想方法，提高邏輯思維能力．教學重點和難點

重點是四邊形與特殊四邊形的從屬關系及它們的概念、性質和判定方法．難點是提高數學思維能力．教學過程設計

一、按“特殊一般特殊”的認識規(guī)律，理解本章基本圖形的形成、變化和發(fā)展過程

1．本章知識結構圖，如圖4-107

（1）圖4-107（a）中主要要求四邊形的內角和及外角和；（2）圖4-107（b）中要求n邊形內角和及外角和；

（3）圖4-107（c）中要求各種特殊四邊形的概念、性質、判定和它們之間的關系；（4）圖4-107（d）中要求平行線等分線段定理的內容，會任意等分一條已知線段；（5）圖4-107（e）中要求三角形、梯形中位線的概念、性質、判定；

說明：陳老師數學工作室

陳老師，畢業(yè)于華中師范大學，獲得應用數學和物理雙學位。從事數學教學工作10年時間，帶過5屆初三畢業(yè)班，在全國專業(yè)數學刊物上發(fā)表過40余篇數學論文，武漢市青山區(qū)優(yōu)秀青年教師�，F在深圳專注于針對中學數學個性化教學的研究與推廣。旨在為更多的學生提供具有專業(yè)性、針對性的數學輔導。幫助提高學生學習數學的興趣，從而提高學習成績，破解數學學習瓶頸。本資料以及博客所發(fā)的資料都是陳老師在日常教學中自己編寫的資料，主要是針對學生補習提高使用，同時可供學生在家自學。

開設課程：初一補差班（60分以下）初一提高班（60～80分）初一培優(yōu)班（80分以上）

初二補差班（60分以下）初二提高班（60～80分）初二培優(yōu)班（80分以上）初三補差班（60分以下）初三提高班（60～80分）初三培優(yōu)班（80分以上）小學六年級升學沖刺班小學奧數

上課地址：深圳市福田區(qū)紅嶺中路園嶺新村20棟2樓(紅嶺中學正對面）

上課方式：2-3人小組課（個別特殊情況可預約一對一）。

上課時間：周一到周五晚上，周六、周日全天香港學生可在周一到周五白天上課

詳細信息請訪問

陳老師（數學）熱線：0755——222099201*714005889

學習榜樣：

外國語唐一×從初一上學期期中考試后，數學成績由班級前十到期末年級前十實驗中學宋浩×從初三跟陳老師學，成績從40多分提高到中考成績B+實驗中學劉博×從初三跟陳老師學，中考成績A

深圳中學卓×從六年級跟陳老師學，數學重點班前十深圳中學萬×數學聯(lián)賽全國一等獎

碧波中學楊麗×從六年級跟陳老師學，數學成績一直班級前2名

紅嶺中學李佳×從初二跟陳老師學，成績從30多分提高到月考68分紅嶺中學曹昊×從初三跟陳老師學，中考成績A+紅嶺中學康×從初三跟陳老師學，中考成績A

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。。。。更多成功案例請點擊%D1%A7%D4%B1%BC%F2%BD%E握中心對稱及中心對稱圖形的概念、性質，會判斷一個圖形是否為中心對稱圖形，會畫一個圖形關于某點的對稱圖形．

2.常用的例習題所對應的基本圖形的性質，有利于探求解題．如：（１）順次連結四邊形各邊中點得到的圖形，如圖4-95．

（２）過平行四邊形對角線交點的直線交對邊或對邊的延長線所得對應線段相等（圖4-108）．

典型例題分析，總

結解題方法和數學思想方法

１．殊四邊形的關系的進一步理解，滲透“集合”的思想．

例１．填出圖4-109中各圖形的名稱，利用“集合”的思想分清各種四邊形之間的關系，并做課本第190頁

第2題，以鞏固各種四邊形的判定方法．

２．四邊形性質及中位線知識的應用，總結證明兩條線段相等和添加輔助線的方法及分析綜合法的使用．

例２．如圖4-110（a），在梯形ABCD中，AB∥DC,以AD和AC為邊作ACED，DC的延長線交EB于

F．求證：EF=FB．分析：

（1）分解基本圖形：“ABCD及對角線”，三個梯形．

（2）應用分析綜合法探求解題思路，添加輔助線，將EF，FB置于“證明兩線段相等”所

對應的基本圖形中．

（3）總結目前證明兩條線段相等的方法，添設相應輔助線．在上一章總結方法的基礎

上，新添的常用方法有：

①特殊四邊形的邊、對角線的性質；②平行線間的距離相等；

③過三角形一邊中點與第二邊平行的直線必平分第三邊；④過梯形一腰中點與底邊平行的直線必平分另一腰．

說明：本題添加輔助線的方法為四大類.

(1)構造三角形中位線或梯形的中位線，如圖4-110(b)～(e)；(2)構造全等三角形，如圖4-110(f)～(h)；(3)構造等腰三角形，如圖4-110(i)；

(4)構造以EB為對角線的平行四邊形，如圖4-110(j).3.總結梯形中常用輔助線，掌握化歸思想.

梯形中添加輔助線常�？梢詫⑻菪位瘹w為三角形、平行四邊形、矩形、直角梯形等.同時，

還可集中梯形中分散的已知條件，如圖4-111(a)中，將梯形的兩腰、兩底角、兩底邊之差集中到還可集中梯形中分散的已知條件，如圖4-１１１(a)中，將梯形的兩腰、兩底角、兩底邊之差集中到了一個三角形中.另外注意以下兩點：

(1)從圖形變換及化歸角度理解梯形中常用輔助線的作法及作用.①平移：圖4-111(a)，(b)過上底一頂點作腰或一對角線的平行線；②旋轉：圖4-111(c)，(d)以一腰中點為旋轉中心旋轉△ADE和△EGC；③對稱：圖4-111(e)等腰梯形中作底邊高.

(2)其他幾種作法.

①圖4-111(e)一般梯形中，過上底兩端點作下底的垂線；②在圖4-111(f)中，向上延長兩腰構成三角形；③在圖4-111(g)中，作梯形的中位線.

例3已知：如圖4-112(a)，在梯形ABCD中，ABDC，ACDB，AD=BC=4，ㄥADC=60°，EF是中位線，交BD于M，交AC于N.

(1)求EF，MN的長及S梯形ABCD；

(2)觀察MN與梯形上、下底的關系，并思考結論能否推廣到一般梯形?分析?本題可選用圖4-112(b)，(c)中輔助線的作法，解得EF=23，MN=2，S對一般梯形同樣適用.

梯形ABCD

=12，MN=

12(DC-AB).此結論

4.利用變換的思想解題，培養(yǎng)方程、分類討論的思想，并會用類比聯(lián)想變更命題.例4矩形一邊長為8，另一邊長6，將矩形折疊，使兩相對頂點重合.求折痕長.分析：

(1)用軸對稱的性質理解折疊問題的基本關系.認清對應元素的位置、數量關系，此題中折痕應為矩形ABCD的對角線AC的中垂線EF(如圖4-113).

(2)利用方程的思想解決問題.設CE=x,可證折痕EF長等于2OE，先由AE=EC，及勾股定理求出CE=EF=2OE=2CE2254，則

OC2152

(3)學完相似形會有更簡捷的計算方法.

例5已知：點M為正方形ABCD的邊AB所在直線上任意一點(點B除外)，MNDM與ㄥABC的鄰補角的平行線交于N.求證：DM=MN.分析：

(1)由于題目中沒有明確給出點M的位置，需對M點在直線AB上的位置進行分類討論.①點M在線段AB內，如圖4-114(a)；

②點M在線段AB的延長線上，如圖4-114(b)；③點M在線段BA的延長線上，如圖4-114(c)；④點M與A點重合，如圖4-114(d).

(2)證明時，結合旋轉及對稱變換的思想添加輔助線，構造DM，MN所在的兩個全等三角形.如圖4-114(a)中，將△MBN沿MD方向平移到M與D重合，再將平移后的三角形繞D點順時針旋轉90°，B點落在邊DA上P點處，使DP=MB，因此，如下添加輔助線：

在AD上取一點P，使DP=BM，連接PM，證明△DPM△MBN.(3)類比聯(lián)想，此題的結論對等邊三角形是否成立?

M為等邊三角形ABC的邊BC所在直線上任意一點(C點除外)，作ㄥAMN=60°，射線MN與ㄥACB的鄰補角的平分線交于N.求證：AM=MN.(如圖4-115)

5.利用運動的思維方法將問題推廣.

例6(1)已知：如圖4-116(a)，從ABCD的頂點A，B，C，D向形外的任意直線l作垂線AA′，BB′，CC′DD′，垂足分別為A′，B′C′，D′，求證：AA′+CC′=BB′+DD′.

(2)將直線l平移運動，會出現幾種不同位置?猜想：AA′，BB′CC′，DD′的數量關系會怎樣變化?并進行證明.

分析：

(1)分解基本圖形為平行四邊形和直角梯形.從結論考慮，從形式上聯(lián)想到梯形中位線定理，連結AC，BD交于O，并作OO′l′與O′.

(2)總結證明線段和差、倍、分關系的常用方法.

(3)直線l向上平移運動，與ABCD的位置關系還會出現兩種情況，如圖4-116(b)，(c).

(4)對于推廣后的兩種情況，可通過添加輔助線化歸為利用圖4-116(a)中結果，也可類比原題(a)中的方法，再次證明：

圖4-116(b)中，CC′-AA′=BB′+DD′；圖4-116(c)中，｜CC′-AA′｜=｜BB′-DD′｜.三、師生共同小結1.基本方法.

(1)利用基本圖形結構使知識系統(tǒng)化；

(2)證明兩條線段相等及和差關系的方法，也可類比總結證明兩角相等，角的和差、倍、分問題，直線垂直、平行關系的方法；

(3)利用變換思想添加輔助線的方法；(4)探求解題思路時的分析、綜合法.2.基本思想及觀點：

(1)“特殊一般特殊”認識事物的方法；(2)集合、方程、分類討論及化歸的思想；(3)用類比、運動的思維方法推廣命題.四、作業(yè)

從課本第190頁復習題四中選取.補充題：

1.已知：如圖4-117，Rt△ABC中，ㄥACB的平分線交對邊于E，交斜邊上的高AD于G，過G作FGCB交AB于F.求證：AE=BF.

2.如圖4-118，梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，E，F和G分別為OB，CD，OA中點，ㄥAOD=60°.求證：△EFG是等邊三角形.

3.已知：如圖4-119，梯形ABCD中，DCAB，ㄥA+AB=90°，M，N分別為CD，AB點.求證：MN=12(AB-CD).

4.已知：梯形ABCD，ADBC，AB=DC，AD:BC=5:ㄥA，ㄥD的平分線都與BC相交，且兩交點把BC三等分.若梯形周長為57cm.求梯形中位線長.(答：

332cm或

20910cm)

5.(1)如圖4-120，P為正方形，ABCD內一點，PA:PB:PC=1:2:3，求ㄥAPB的度數；(答：135°)(2)已知：如圖4-121正方形ABCD內點E到A，B，C三點的距離之和的最小值為26.求此正方形的邊長；(答：2)

(提示：(1)將△APB繞B點順時針旋轉90°，得△CQB，將分散的三條線段PA，PB，PC集中到一起，連結PQ，在△PBQ和△PQC中計算角度.(2)如圖4-121，用旋轉的方法，把△ABE繞B點旋轉60°，得到△FBG，可證△BEG為等邊三角形.并將EA+EB+EC轉化為FG+GE+EC，從而找到最小值為FC的長，利用列方程的方法求得邊長為2.)

6.如圖4-122，ABCD是矩

形紙片，E為AB上一點，BE:EA=5:3，EC=155，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若點B恰好落在AD邊上，設這個點為F.問AB，BC的長各是多少?(答：2430)

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