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高一數學必修1第一章知識點總結

一、集合有關概念1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性：(1)元素的確定性,(2)元素的互異性,(3)元素的無序性,

3.集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。注意：常用數集及其記法：

非負整數集（即自然數集）記作：N

正整數集N*或N+整數集Z有理數集Q實數集R

1）列舉法：{a,b,c……}

R|x-32）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。{x>2},{x|x-3>2}

3）語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn圖:4、集合的分類：

(1)有限集含有有限個元素的集合(2)無限集含有無限個元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝

二、集合間的基本關系1.“包含”關系子集

注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2．“相等”關系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)

實例：設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”A即：①任何一個集合是它本身的子集。A

B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)B,且A②真子集:如果A

CC,那么AB,B③如果A

B④如果AA那么A=B同時B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集三、集合的運算

運算類型交集并集補集定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作AB（讀作A交B），即AB=｛x|xA，且xB｝．

由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集．記作：AB（讀作A并B），即AB={x|xA，或xB})．設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）記作，即CSA=韋恩圖

示性

質AA=AAΦ=ΦAB=BAABAABBAA=AAΦ=AAB=BAABAABB

(CuA)(CuB)=Cu(AB)

(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．

例題：

1.下列四組對象，能構成集合的是（）A某班所有高個子的學生B著名的藝術家C一切很大的書D倒數等于它自身的實數

2.集合{a，b，c}的真子集共有個

3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，則M與N的關系是.4.設集合A=，B=，若AB，則的取值范圍是

5.50名學生做的物理、化學兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有40人，化學實驗做得正確得有31人，

兩種實驗都做錯得有4人，則這兩種實驗都做對的有人。6.用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M=.

7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函數的有關概念

1．函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．注意：

1．定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數不小于零；(3)對數式的真數必須大于零；

(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零，

(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.

相同函數的判斷方法：①表達式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）；②定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本21頁相關例2)2．值域:先考慮其定義域(1)觀察法(2)配方法(3)代換法

3.函數圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象．C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.(2)畫法

A、描點法：B、圖象變換法常用變換方法有三種1)平移變換2)伸縮變換3)對稱變換4．區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（2）無窮區(qū)間

（3）區(qū)間的數軸表示．5．映射

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作f：A→B6.分段函數

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。(2)各部分的自變量的取值情況．

(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．補充：復合函數

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復合函數。二．函數的性質

1.函數的單調性(局部性質)（1）增函數

設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規(guī)律：“同增異減”

注意：函數的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

8．函數的奇偶性（整體性質）（1）偶函數

一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數．（2）．奇函數

一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數．

（3）具有奇偶性的函數的圖象的特征

偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．利用定義判斷函數奇偶性的步驟：

○1首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；○2確定f(－x)與f(x)的關系；

○3作出相應結論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數．(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來判定;(3)利用定理，或借助函數的圖象判定.9、函數的解析表達式

（1）.函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.（2）求函數的解析式的主要方法有：1)湊配法

2)待定系數法3)換元法4)消參法

10．函數最大（�。┲担ǘ�義見課本p36頁）

○1利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值○2利用圖象求函數的最大（�。┲�

○3利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值：

如果函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，在區(qū)間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；

如果函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞減，在區(qū)間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；例題：

1.求下列函數的定義域：⑴⑵

2.設函數的定義域為，則函數的定義域為__3.若函數的定義域為，則函數的定義域是4.函數，若，則=

6.已知函數，求函數，的解析式

7.已知函數滿足，則=。

8.設是R上的奇函數，且當時,,則當時=在R上的解析式為9.求下列函數的單調區(qū)間：⑴(2)

10.判斷函數的單調性并證明你的結論．11.設函數判斷它的奇偶性并且求證：

擴展閱讀：高中數學必修1知識點總結：第一章_集合與函數概念

高中數學必修1知識點總結

第一章集合與函數概念

【1.1.1】集合的含義與表示

（1）集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.（2）常用數集及其記法

N表示自然數集，N

或N表示正整數集，Z表示整數集，Q表示有理數集，R表示實數集.

（3）集合與元素間的關系

對象a與集合M的關系是aM，或者aM，兩者必居其一.（4）集合的表示法

①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合.③描述法：{x|x具有的性質}，其中x為集合的代表元素.④圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合.（5）集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().

【1.1.2】集合間的基本關系

（6）子集、真子集、集合相等

名稱記號意義(1)AAA中的任一元素都屬于B(2)性質示意圖AB子集（或BA)ABA(3)若AB且BC，則AC(4)若AB且BA，則AB（1）A（A為非空子集）A(B)BA或真子集（或BA）AB，且B中至少有一元素不屬于ABA(2)若AB且BC，則AC集合相等A中的任一元素都屬AB于B，B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BAA(B)（7）已知集合真子集.

A有n(n1)個元素，則它有2n個子集，它有2n1個真子集，它有2n1個非空子集，它有2n2非空

【1.1.3】集合的基本運算

（8）交集、并集、補集名稱記號意義性質示意圖交集AB{x|xA,且xB}AAA（2）A（3）ABAABB（1）AB

并集AB{x|xA,或xB}AAA（2）AA（3）ABAABB（1）1A(2A(UA)UUA)AB補集UA{x|xU,且xA}痧U(AB)(UA)(UB)痧U(AB)(UA)(UB)【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

（1）含絕對值的不等式的解法

不等式解集|x|a(a0){x|axa}|x|a(a0)把x|xa或xa}axb看成一個整體，化成|x|a，|axb|c,|axb|c(c0)|x|a(a0)型不等式來求解（2）一元二次不等式的解法

判別式b4ac二次函數201*yax2bxc(a0)的圖象O一元二次方程ax2bxc0(a0)的根bb24acx1,22a（其中x1x1x2b2a無實根x2){x|xax2bxc0(a0)的解集{x|xx1或xx2}b}2aRax2bxc0(a0)的解集{x|x1xx2}

〖1.2〗函數及其表示【1.2.1】函數的概念

（1）函數的概念

①設的數記作

A、B是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則f，對于集合A中任何一個數x，在集合B中都有唯一確定

f(x)和它對應，那么這樣的對應（包括集合A，B以及A到B的對應法則f）叫做集合

A到B的一個函數，

f:AB．

②函數的三要素:定義域、值域和對應法則．

③只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數才是同一函數．（2）區(qū)間的概念及表示法

①設a,b是兩個實數，且ab，滿足axb的實數x的集合叫做閉區(qū)間，記做[a,b]；滿足axb的實數x的集合叫做開區(qū)間，記做(a,b)；滿足axb，b或ax的實數x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做[a,b)，

(a,b]；滿足xa,xa,xb,xb的實數x的集合分別記做[a,),(a,),(,b],(,b)．

注意：對于集合{x|axb}與區(qū)間(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必須

ab．

（3）求函數的定義域時，一般遵循以下原則：

①②③

f(x)是整式時，定義域是全體實數．

f(x)是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數．

f(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合．

④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1．⑤

ytanx中，xk2(kZ)．

⑥零（負）指數冪的底數不能為零．⑦若

f(x)是由有限個基本初等函數的四則運算而合成的函數時，則其定義域一般是各基本初等函數的定義域的交集．

f(x)的定義域為[a,b]，其復合函數f[g(x)]的定義域應由不等

⑧對于求復合函數定義域問題，一般步驟是：若已知式ag(x)b解出．

⑨對于含字母參數的函數，求其定義域，根據問題具體情況需對字母參數進行分類討論．⑩由實際問題確定的函數，其定義域除使函數有意義外，還要符合問題的實際意義．（4）求函數的值域或最值

求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最�。ù螅�數，這個數就是函數的最�。ù螅┲担�因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同．求函數值域與最值的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．

②配方法：將函數解析式化成含有自變量的平方式與常數的和，然后根據變量的取值范圍確定函數的值域或最值．③判別式法：若函數

yf(x)可以化成一個系數含有y的關于x的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0，則在

a(y)0時，由于x,y為實數，故必須有b2(y)4a(y)c(y)0，從而確定函數的值域或最值．

④不等式法：利用基本不等式確定函數的值域或最值．

⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數函數的最值問題轉化為三角函數的最值問

題．

⑥反函數法：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系確定函數的值域或最值．⑦數形結合法：利用函數圖象或幾何方法確定函數的值域或最值．⑧函數的單調性法．

【1.2.2】函數的表示法

（5）函數的表示方法

表示函數的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．

解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系．列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系．圖象

法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系．（6）映射的概念

①設

A、B是兩個集合，如果按照某種對應法則f，對于集合A中任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它

A，B以及A到B的對應法則f）叫做集合A到B的映射，記作f:AB．

對應，那么這樣的對應（包括集合

②給定一個集合

A到集合B的映射，且aA,bB．如果元素a和元素b對應，那么我們把元素b叫做元素a的象，

元素a叫做元素b的原象．

〖1.3〗函數的基本性質

【1.3.1】單調性與最大（小）值

（1）函數的單調性

①定義及判定方法

函數的性質定義如果對于屬于定義域I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x

（1）利用定義如果對于屬于定義域I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當xf(x)，那么就說12．．．．．．．．．．．f(x)在這個區(qū)間上是減函數．．．．yf(x)1y=f(X)f(x)2（2）利用已知函數的單調性（3）利用函數圖象（在某個區(qū)間圖x2ox1x象下降為減）（4）利用復合函數②在公共定義域內，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和是減函數，增函數減去一個減函數為增函數，減函數減去一個增函數為減函數．③對于復合函數

yf[g(x)]，令ug(x)，若yf(u)為增，ug(x)為增，則yf[g(x)]為增；若

yf(u)為減，ug(x)為減，則yf[g(x)]為增；若yf(u)為增，ug(x)為減，則yf[g(x)]為

減；若

yf(u)為減，ug(x)為增，則yf[g(x)]為減．

y（2）打“√”函數

af(x)x(a0)的圖象與性質

xf(x)分別在(,a]、[a,)上為增函數，分別在[a,0)、(0,a]上為減函數．（3）最大（小）值定義①一般地，設函數

yf(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：（1）對于任意的xI，都有oxf(x)M；

（2）存在x0I，使得

作

f(x0)M．那么，我們稱M是函數

f(x)的最大值，記fmax(x)M．

yf(x)的定義域為I，如果存在實數m滿足：（1）對于任意的xI，都有

（2）f(x)m；

②一般地，設函數

存在x0I，使得

f(x0)m．那么，我們稱m是函數f(x)的最小值，記作fmax(x)m．

【1.3.2】奇偶性

（4）函數的奇偶性

①定義及判定方法

函數的性質定義如果對于函數f(x)定義域內任意一個x，都有．f(－x)=－．．．．．．f(x),那么函數f(x)叫做奇函．．．．．．數．．函數的奇偶性如果對于函數f(x)定義域內任意一個x，都有．f(－x)=f(x),．．．．．．．．．那么函數f(x)叫做偶函數．．．．（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關于y軸對稱）②若函數

圖象判定方法（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關于原點對稱）f(x)為奇函數，且在x0處有定義，則f(0)0．

y軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數在y軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相反．

③奇函數在

④在公共定義域內，兩個偶函數（或奇函數）的和（或差）仍是偶函數（或奇函數），兩個偶函數（或奇函數）的積（或商）是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積（或商）是奇函數．

〖補充知識〗函數的圖象

（1）作圖

利用描點法作圖：

①確定函數的定義域；②化解函數解析式；③討論函數的性質（奇偶性、單調性）；④畫出函數的圖象．利用基本函數圖象的變換作圖：

要準確記憶一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等各種基本初等函數的圖象．①平移變換

h0,左移h個單位k0,上移k個單位yf(x)yf(xh)yf(x)yf(x)k

h0,右移|h|個單位k0,下移|k|個單位②伸縮變換

01,伸yf(x)yf(x)

1,縮0A1,縮yf(x)yAf(x)

A1,伸③對稱變換

y軸x軸yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)

直線yx原點yf(x)yf(x)yf(x)yf1(x)去掉y軸左邊圖象yf(x)yf(|x|)

保留y軸右邊圖象，并作其關于y軸對稱圖象

保留x軸上方圖象yf(x)y|f(x)|

將x軸下方圖象翻折上去（2）識圖

對于給定函數的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數的定義域、值域、單調性、奇偶性，注意圖象與函數解析式中參數的關系．（3）用圖

函數圖象形象地顯示了函數的性質，為研究數量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結果的重

要工具．要重視數形結合解題的思想方法．

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